Xususiy hosilali chiziqli differensial tenglamalar va ularni sinflash 1-Ta’rif

5-Misol. xususiy hosilali differensial tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish. Berilagan tenglama funksiyaga nisbatan ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial tenglamadir. Uning yechimi bo’yicha ikki marta hosilasi funksiyaga teng bo’lishi kerak. Bunday funksiyani topish uchun har bir tayinlangan da funksiyadan bo’yicha ikki marta aniqmas integral olamiz. Bir marta integrallash bilan quyidagi natijani olamiz:
.
Uni ikkinchi marta bo’yicha integrallab, izlangan yechimni olamiz:
.
Bunda va lar faqat o’zgaruvchiga bog’liq bo’lgan va ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi ixtiyoriy funksiyalardir. Demak berilgan tenglamaning yechimi ikkita ixtiyoriy uzluksiz funksiyadan bog’liq bo’lib

formula bilan aniqlanar ekan.
Quyidagi misollar 2-tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial tenglamalarni ma’lum soddalashtirish natijasida umumiy yechimni topish jarayonida keng qo’llaniladi.
6-Misol. xususiy hosilali differensial tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish. Berilgan tenglamani quyidagi ko’rinishda tasvirlab olamiz:
.
Xuddi yuqorida berilgan misoldagi kabi bu tenglamani bo’yicha integrallab, quyidagi tenglamaga kelamiz:
.
Bunda ixtiyoriy uzluksiz funksiya. Endi
(1.6)
tenglamani yechish maqsadida
(1.7)
almashtirish bajaramiz. U holda bo’lib, (1.6) tenglama quyidagi ko’rinishga keladi:
.
Bu tenglamaning ikkala tomonini ga bo’lingandan keyin unga teng kuchli bo’lgan tenglamani hosil qilamiz:
.
Bu tenglama xuddi 5-misoldagi kabi ko’rinishga ega bo’lib, bir marta bo’yicha integrallab ni topamiz:
,
bunda va ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi ixtiyoriy funksiyalar. ning bu ifodasini (1.7) ga qo’yib, dastlab berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimiga ega bo’lamiz:
.