Xususiy hosilali chiziqli differensial tenglamalar va ularni sinflash 1-Ta’rif

1.3-Ta’rif. Agar (1.3) xususiy hosilali differernsial tenglamada koeffisientlar faqat o’zgaruvchilarga bog’liq bo’lmasdan lardan ham bog’liq bo’lsa, ya’ni (1.3) tenglama ko’rinishi

(1.4)
kabi bo’lsa, unga ikkinchi tartibli xususiy hosilali kavazichiziqli differensial tenglama deb ataladi.
Xuddi shu kabi birinchi tartibli xususiy hosilali kavazichiziqli differensial tenglama deb
(1.5)
ko’rinishdagi tenglamaga aytiladi. Agar (1.5) da koeffisientlar noma’lum funksiya dan bog’liq bo’lmasa unga birinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial tenlama deyiladi.
2-Misol. Quyida berilgan
,

tenglamalar mos ravishda ikkinchi va birinchi tartibli kvazichiziqli xususiy hosilali differensial tenglamalar bo’ladi. Chunki, ularning birinchisida (1.4) fornulada belgilangan koeffisientlar quyidagilarga teng:

.
Ikkinchi tenglamada esa (1.5) fornulada belgilangan koeffisientlar quyidagilarga teng:
.
1.4-Ta’rif. Xususiy hosilali differernsial tenglamaning yechimi deb uni ayniyatga aylantiruvchi funksiyaga aytiladi.
Xususiy hosilali differernsial tenglamani yechish deb uning barcha yechimlarini topish yoki yechimga ega emasligini ko’rsatish jarayoniga aytiladi.
Ma’lumki, oddiy differensial tenglamani integrallash orqali topiladigan yechim unung umumiy yechimi yoki umumiy integrali deb atalib, u odatda bir nechta erkin parametrlarga bog’liq bo’ladi. Umumiy yechimdan parametrlarning berilgan qiymatlarida hosil bo’luvci yechimlarga xususiy yechimlar deyiladi. Agarda tenglamaga qo’shimcha hech qanday shartlar ilova qilinmagan holda differensial tenglamaning xususiy yechimlari cheksiz ko’p bo’ladi.
3-Misol. Berilgan

ikkinchi tartibli bir jinsli oddiy differensial tenglama yechimini ko’rinishida izlaymiz. U holda

bo’lib, uni berilgan tenglamaga qo’yib va tenglamaning ikkala tomonini musbat ifodaga bo’lamiz. Natijada biz xarakteristik tenglama deb ataluvchi

kvadrat tenglamaga kelamiz. Uning yechimlari bo’lib, dastlabki tenglamaning chiziqli bog’lanmagan yechimlari

bo’lib, tenglamaning umumiy yechimi

ko’rinishda bo’ladi va bunda lar ixtiyoriy doimiylar (parametrlar).
Xuddi shu kabi xususiy hosilali differensial tenglama ham odatda cheksiz ko’p sondagi yechimlarga ega bo’lib, umumiy yechim bir qancha ixtiyoriy funksiyalardan bo’g’liq bo’ladi. Ushbu ixtiyoriy funksiyalarni tanlash bilan umumiy yechimdan hosil qilinuvchi yechimlarga xususiy yechimlar deyiladi. Umumiy yechimdan hosil qilib bo’lmaydigan tenglama yechimlariga esa maxsus yechimlar deb ataladi.
4-Misol. , , funksiyalarning har biri xuxusiy hosilali

Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama yechimlari bo’ladi. Chunki berilgan funksiyalarning har biridan bo’yicha olingan xususiy hosilalar hammasi ga teng. Qaralayotgan xususiy hosilali differensial tenglamaning umumiy yechimini topish uchun uning o’ng tomonidafi funksiyani har bir tayinlangan da biror olib oraliqda bo’yicha integrallaymiz:

.
Bunda va ixtiyoriy funksiyalar. Dastlab berilgan , , yechimlar umumiy yechimda mos ravishda kabi tanlash natijasida hosil bo’ladi. Demak ular berilgan tenglamaning xususiy yechimlari bo’ladi. Bu tenglama maxsus yechimlarga ega emas.