Xosmas integral Reja

> restart;

> with(plots):

Warning, the name changecoords has been redefined

> plot(1/(1+x^2), x=-6..6, y=-1..2,color= blue, thickness=2);





.

Demak, bu xosmas integral yaqinlashuvchi va uning son qiymati ga tengdir.

> int( 1/(1+x^2), x=0..infinity );

2-misol. xosmas integralni  ga nisbatan tekshiring (R)

Yechish. Agar 1 bo`lsa, .

Bu yerda ikki holni farqlashga to`g`ri keladi.

a) >1  1-< 0   -1 >0 bo`lib,

,

ya`ni bu holda xosmas integral yaqinlashuvchi ekan.

b) ifoda 1->0 bo`lganligi sababli b<sup>1-</sup> + , ya`ni

.

Demak, bu holda xosmas integral uzoqlashuvchidir.

Endi =1 holni qarasak, b >1 bo`lganda

ekanligidan xosmas integralning uzoqlashuvchiligi kelib chiqadi.

Shunday qilib, xosmas integral >1 bo`lganda yaqinlashuvchi bo`lib, 1 bo`lganda esa uzoqlashuvchidir.

Eslatma. Xosmas integralni yuqoridagi misoldagiga o`xshash tekshirish uni yaqinlashishga tekshirish deb atalib, bunda uning qiymatini, agar talab qilinmagan bo`lsa, topish (hisoblash) shart emasdir.

Yuqorida ko`rilgan misollardan integral osti funksiyasining boshlang`ich funksiyasi F(x) ning xosmas integral yaqinlashuvchi bo`lishi uchun x+ dagi chekli limiti mabjud bo`lishi kerak ekanligini ko`ramiz. Quyidagi teorema o`rinlidir.

1-teorema. Agar f(x) funksiya [a;+) oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo`lib, bu oraliqda uning boshlang`ich funksiyasi F(x) mavjud va x+ da chekli limitiga ega bo`lsa, xosmas integral yaqinlashuvchi bo`ladi.

Isbot.

.

Bu yerda belgilashdan foydalandik. Teorema sharti asosida F(+) chekli limit mabjudligidan xosmas integralning yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi.

2-teorema. Agar f(x) va (x) funksiyalar [a;+) oraliqda aniqlangan va uzluksiz x[a;+) f(x) (x) 0 tengsizlik o`rinli bo`lib,

1) yaqinlashuvchi bo`lsa, ham yaqinlashuvchi bo`ladi;

2) uzoqlashuvchi bo`lsa, ham uzoqlashuvchi bo`ladi;

Navbatdagi teoremani keltirish avvalida integralga tegishli yana bir tushunchani kiritamiz. Agar f(x) funksiya absolut qiymatining biror oraliq bo`yicha (cheklimi yoki cheksizmi) integrali mabjud bo`lsa, bu funksiya shu oraliq bo`yicha absolut integrallanuvchi deyiladi, ya`ni

mabjud bo`lsa, f(x) (a;b) oraliqda absolut integrallanuvchidir.

3-teorema. Agar f(x) funksiya [a;+) oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo`lib, shu oraliqda absolut integrallanuvchi bo`lsa, xosmas integral yaqinlashuvchi bo`ladi.

4-teorema. Agar f(x) va (x) [a;+) oraliqda uzluksiz va manfiy bo`lmagan funksiyalar bo`lib, chekli limit mabjud bo`lsa, va xosmas integrallarning ikkalasi ham yaqinlashuvchi yoki ikkalasi ham uzoqlashuvchi bo`ladi, ya`ni ulardan biri yaqinlashuvchi boshqasi uzoqlashuvchi bo`laolmaydi.

1-eslatma. Agar 4- teoremada bo`lsa, u holda

a) yaqinlashuvchi bo`lsa yaqinlashuvchi;

b) uzoqlashuvchi bo`lsa, uzoqlashuvchi bo`lishi kelib chiqadi, ammo, bir xil tabiatli ekanligi kelib chiqmaydi.

2-eslatma. Yuqorida keltirilgan teoremalar xosmas integralning yaqinlashish belgilari deb yuritiladi.

2. Xuddi yuqoridagidek, agar f(x) funksiya (-; a] oraliqda uzluksiz bo`lsa,

(b)

deb qabul qilib, bu oraliq uchun ham xosmas integral tushunchasi kiritiladi. Bu yerda 2a-x=t almashtirish bilan yuqoridagini (t)=-f(2a-t) funksiyaning xosmas integraliga keltirish mumkin. Demak, yuqoridagi yaqinlashish belgilari bu yerda ham o`rinlidir.

3. Agar f(x) funksiya (-;+) oraliqda uzluksiz funksiya bo`lsa, ixtiyoriy

a(-;+) nuqtani olib, (-;+) oraliq uchun xosmas integral tushunchasi

ko`rinishda kiritiladi. Ko`pincha a=0 deb olinadi.

3-misol , .