Xosmas integral (birinchi tur xosmas integrali)

2 – Teorema. (Taqqoslash teoremasi ). Agar

tengsizlik bajarilsa, u holda

1. 
   integralning yaqinlashuvchiligidan integralning yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi.
   
2. 
   – ning uzoqlashuvchiligidan ning uzoqlashuvchiligi kelib chiqadi.
   

Isbot. a) (3) shartdan Riman integralining tengsizliklarga bog’liq xossalaridan

kelib chiqadi. Agar integral yaqinlashuvchi bo’lsa, ya’ni

mavjud bo’lsa, u holda

Demak, manfiy bo’lmagan funksiya uchun (2) shart bajariladi va 1 – teoremaga ko’ra - integral yaqinlashuvchi bo’ladi.
b) Agar – uzoqlashuvchi bo’lsa, ham uzoqlashuvchi bo’lishi kerak. Aks holda, ya’ni – integralning yaqinlashuvchiligidan ning yaqinlashuvchiligi yuqorida isbotlanganiga ko’ra kelib chiqar edi.
Natija. Agar

shart abajarilib

bo’lsa, u holda va integrallar bir vaqtda yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo’ladi.
Isbot (5) va (6) shartlar bajarilganda

tengsizlik bajariladi. Bu yerda deb olsak, shunday topilib,
tengsizlik kelib chiqadi. (7) dan (5) ni hosobga olib,

tengsizlik kelib chiqadi. (Bu yerda ni shunday tanlaymizki bo’lsin). va funksiyalarning oraliqda maxsus nuqtalari yo’qligi sababli ularning shu oraliqda yaqinlashuvchi bo’lishi uchun ularning oraliqda yaqinlashuvchi bo’lishi zarur va yetarlidir.
Agar – integral yaqinlashuvchi bo’lsa, – integral ham yaqinlashuvchi bo’ladi. Bundan 2 – teoremaga ko’ra – integralning yaqinlashuvchi ekanligi kelib chiqadi. Hamda – ning uzoqlashuvchiligidan – ning uzoqlashuvchiligi kelib chiqadi.