Xodjayorova dilxayot abdiaxatovna deformatsiyalanuvchi muhitdagi silindrik qobiqning buralma tebranishlarini sonli tadqiq etish

§1.1 Doiraviy silindrik qayishqoq-elastik sterjenning nostatsionar
tebranishlari tadqiqotlari
Bernulli statik egilishning differensial munosabatlarini olguniga qadar deformatsiyalanuvchi sterjenlar egilishi haqidagi tadqiqotlar nashr etilmagan. Bu tadqiqotlarni undan keyin L.Eyler (1744) davom ettirdi. Ushbu tenglama ko’ndalang inersiya kuchini hisobga oluvchi dinamik had bilan to’ldirildi. Shunday qilib balkaning ko’ndalang tebranish differensial tenglamasi hosil qilindi va u klassik yoki Eyler-Bernulli tenglamasi deb atala boshladi.
Sterjen uzunligi bo’yicha bir jinsli bo’lmagan, balkaning tebranish differensial tenglamasining ko’rinishi quyidagicha
(1.1)
(1.2)
bunda x-bo’ylama koordinata, t- vaqt, -qaralayotgan nuqtaning sterjenning markaziy o’qidan chetlashishi, -eguvchi moment, -qirquvchi kuch, - taqsimlangan kuch, -ko’ndalang kesim yuzi, -Yung moduli, -zichlik.
Sterjenning klassik egilish nazariyasi tekis kesimlar gipotezasiga asoslangan: dastlabki ko’ndalang kesimdagi tekislik egilishdan keyin ham balkaning ko’ndalang tolalariga normalligicha qoladi. Ko’ndalang va bo’ylama tolalar bo’yicha kuchlanishlarni hisobga olmasa ham bo’ladigan darajada kichik. Tekis kesimlar gipotezasi tajribalardan katta aniqlikka ega.
Aksaryat materiallar uchun Puasson koeffisiyenti nolga teng emas va uning ta’siri bo’ylama cho’zilishda yon tomondan siqilishga, bo’ylama siqilishda yon tomondan kengayishga olib keladi. Bundan ko’rinadiki tekis kesimlar gipotezasi egilish vaqtida ko’ndalang kesimdagi nuqtalarning ko’chishini cheklamaydi. Keltirilgan (1.1) tenglamadan sterjenning tebranish tadqiqotlarida J.Fure (1818) J.Bussinesk (1883) va boshqalar foydalanganlar. Sterjenning ko’ndalang tebranish klassik nazariyasi, sterjen elementlarida aylanish inersiyasi ta’siri hisobga olinganda va ko’ndalang siljish deformatsiyalarining ifodasi S.P.Timoshenko tomonidan taklif etilgan.
Keltirilgan yechimlar sterjen statik egilganda ko’ndalang siljish deformatsiyasi muhim ekanligini ko’rsatadi. Statik holatda ko’ndalang siljish deformatsiyasini rezinali sterjenlarda yaqqol ko’rishimiz mumkin [7].
Siljish deformasiyasi kuchlanish konsentratorlar yaqinidagi biror atrofida bilinadigan yassi ko’ndalang kesimning buzilishiga olib keladi (jamlangan kuchlar, chetlar, jamlangan massalar, qattiqlik yoki zichlik sakrashlari va h.k.) konsentratorlarini bevosita uch o’lchovli elastiklik nazariyasi doirasida muhokama etish zarur.
Dinamik masalalarda bundan tashqari tebranish modellari bilan bog’liq ko’ndalang kesimlarining tuzilishi mumkinligini ta’kidlaymiz; vaqt bo’yicha o’zgaruvchilar, maydonlar katta gradiyentlar zonalarida elastiklik nazariyasi klassik modeli to’g’ri kelmasligi mumkin.
Yaxlit sterjen tebranishlari haqidagi masalani qarab S.P.Timoshenko past chastotalarda ko’ndalang kesimi deformatsiyasining kichik ta’siri chastotaning oshishi bilan o’sadi degan xulosaga kelgan.
Bu uzunlik birligiga buralish to’lqinlari sonining oshishi bilan izohlanadi. S.P.Timoshenko [21] ishlariga tayanib ko’ndalang siljish deformasiyasi va aylanish inersiyasini hisobga olib bir jinsli prizmatik sterjen buralma tebranishlari to’lqin tenglamasini yozamiz. Urinmaning egrilik chizig’iga og’ish burchagi , bu holda buralma deformasiyalari, egrilik va neytral o’q oldidagi siljishlardan iborat, ya’ni
; (1.3)
Eguvchi moment va - ko’ndalang kuchlar ifodalari quyidagicha:
; (1.4)
Sterjen cheksiz kichik elementining aylanish inersiyasi hisobga olinganda chiziq tekisligiga perpendikulyar k nuqta orqali o’tuvchi o’qqa nisbatan harakat tenglamasi quyidagicha:
; (1.5)
Olingan elementning -o’qqa nisbatan harakat tenglamasi ushbu ko’rinishga ega
; (1.6)
(1.4) munosabatni hisobga olsak (1.5) va (1.6) tenglamalardan ikkita harakat differensial tenglamalariga ega bo’lamiz
; (1.7)
; (1.8)
Bu differensial tenglamalardan ni yo’qotib Timoshenko tomonidan aniqlangan balka tenglamasiga ega bo’lamiz
; (1.9)
Agar (1.9) tenglama tarkibidagi bo’lgan hadni hisobga olmasak, undan Releyning aylanish inersiyasi hisobga olingan tenglamasiga ega bo’lamiz.
Chegaraviy masalalarni yechishda (1.7) va (1.8) aniqlashtirilgan tenglamalar (1.2) va (1.3) munosabatlarga mos holda cheraviy shartlar bilan to’ldiriladi. Bunda chegaraviy shartlar korrektligi haqidagi masala muhim hisoblanadi. Ba’zi ishlarda [9, 10, 11] Timoshenkoning tenglamalari klassik nazariya chegaraviy shartlari bilan yechilgan, bu esa nokorrekt.
- y o’qi bo’yicha ko’ndalang siljish va x o’qi yo’nalishida bo’ylama siljishning aproksimatsiyalariga asoslangan.
(1.10)
; (1.11)
ko’rinishidagi Timoshenko modelining keng tarqalgan tavsifini keltiramiz, (1.11) dagi ikkinchi qo’shiluvchi ko’ndalang kesimlar buzilishini, ya’ni ularning tekislikdan siljishini hisobga oladi. (1.10) va (1.11)larni hisobga olib kuchlanishlar uchun ifodalar
; (1.12)
; (1.13)
ko’rinishni oladi.
Klassik nazariyadagi ko’ndalang , normal kuchlanishlar va (1.12) o’q deformasiyasi bilan bog’lanish ko’ndalang va bo’ylama kuchlanishlarni hisobga olmasdan qabul qilinadi.
Integral kattaliklarga o’tib, eguvchi moment va ko’ndalang kuch uchun quyidagi ifodalarni olamiz
; (1.14)
; (1.15)
(1.14) va (1.15) formulalardan ko’rinadiki bu yerda k- korrektlovchi koeffisiyent, -ko’ndalang kesimda siljishning o’rtacha burchagi kesim tekisligi buzilishi taxminiy xarakterlovchi -funksiya ko’rinishi shunday tanlanadiki, kesimda urinma kuchlanishlar taqsimoti elementar nazariyadagi kabi
; (1.16)
D.I.Jukovskiy formulalariga ko’ra bo’lishi lozim. Shuning uchun (1.12), (1.13) va (1.16) dan
; (1.17)
kelib chiqadi.
(1.17) formulalar k korrektlovchi koeffisiyent kattaligini hisoblashga imkon beradi (masalan, to’g’ri to’rtburchakli kesim uchun k=615)
; (1.18)
bog’lanishni kiritib
; (1.19)
ifodalarni olamiz, ular (1.7) va (1.8) tenglamalarga olib keladi. (1.3), (1.18) va (1.19) tenglamalarni taqqoslashdan kelib chiqadi.
(1.10)-(1.19) Timoshenko modelining tavsifidagi masalaning aniq qo’yilishi matematik approksimasiyasi ma’nosida qat’iy emas. Haqiqatan (1.10) munosabat neytral sirtda aniq bajariladi, (1.19) formula esa faqat agar egrilik va sterjen siljishi orasidagi bog’lanish hsobga olingan holda o’rinli.
Timoshenko modelini boshqa talqinlari ham ma’lum. Ulardan biri J.Precott [12] (1945) ga tegishli bo’lib, alohida e’tiborga loyiq. Bitta emas bir nechta talqinlar mavjudligi oxir oqibat bir nechta farqli koeffisiyentlarga ega, o’sha bitta (1.9) tenglamaga olib keladi. k korrektlovchi koeffisiyentning mavjudligi Timoshenko modeliga mos keluvchi gipotezalarni bayon qilishda keyingi natijalarga olib keladi.
(1.9) Timoshenko tenglamasi to’lqin xarakteriga ega Ya.S.Uflend [13] (1948) bu tenglamani yechishda Laplas almashtirishi usulini qo’lladi va shu bilan bog’liq keyingi tadqiqotlarda qo’llanilgan Riman-Mellin qator integrallarni hisobladi.
Timoshenkoning bir jinsli bo’magan balka tenglamalarini V.Q.Qabulov [14] (1960), A.Wergand [15] (1962) lar qaraganlar. Uzunligi bo’yicha o’zgaruvchi holida va kattaliklar, (1.4) munosabatlar o’zgarishsiz qoladi, (1.7) va (1.8) tenglamalar quyidagi ko’rinishni oladi:
(1.20)
Agar sterjen bir jinsli elastik muhitda k qattiqlik koeffisiyenti bilan xarakterlanuvchi ko’ndalang tebranishlar, muhit reaksiyasi -solishtirma bog’lanish sifatida namoyon bo’ladi va (1.9) Timoshenko balka tenglamasiga tegishli hadlar bilan oson to’ldiriladi. Boshlang’ich -ko’chishga va -bo’ylama yuklanishga ega bo’lgan Timoshenko tipidagi balka tenglamasi E.J.Brunelli [16] ishida keltirilgan.
( )
S.H.Crandall va A.Yildiz [17], Timoshenko modeliga asoslanib Foygt bo’yicha tebranishlar ko’ndalang, bo’ylama va yopishqoq elastik so’nishlarga effektlarni hisobga oluvchi differensial tenglamalar sistemasini oldilar.
(1.21)
Bu yerda va so’ndirish koeffisiyentlari,
H. Favre [18] ishida
; (1.22)
; (1.23)
munosabatlar bilan ifodalanuvchi qayishqoq-elastik materialdan yasalgan sterjen uchun aylanish inersiyasini va siljish deformasiyasini hisobga olib differensial tenglama keltirib chiqarilgan.
(1.22) bog’lanish Kelvin jismini da va Maksvell jismini da tavsiflaydi. Yana va koeffisiyantlarga nisbatan kichik deb faraz qilinadi, u holda bunday material kvazielastik deb ataladi. Aniqlashtirilgan tenglama
(1.24)
ko’rinishga ega.
Bu yerda -siljishga o’zgarishni ham o’z ishiga oluvchi keltirilgan yuza. Harakatlanayotgan yoki turg’un uchta to’lqin sinflari qaraladi: uzun, o’rta va qisqa. To’lqinlar uzun deyiladi, agar aylanish inersiyasi va siljish hisobga olinmasa. O’rtacha to’lqin holida bu omillar hisobga olinadi, lekin ularning ta’siri kichik. Qisqa to’lqinlarda aylanish inersiyasi va siljish ta’siri ko’ndalang inersiyasi bilan bir xil tartibda bo’lishi bilan xarakterlanadi. H balandlikdagi to’g’ri to’rtburchakli sterjen uchun quyidagi baholar olingan: uzun to’lqinlar , o’rta to’lqinlar , qisqa to’lqinlar . Kelvin muhitidagi to’lqinlar tarqalishi batafsil tekshiriladi.
Oddiy dempfirlashni hisobga olib ko’ndalang tezlikka va burchak tezlikka proparsiyanal bo’lgan J. Gonda [19] tomonidan olingan
(1.25)
bu tenglamaning yechimi Laplas almashtirishlariga keltiriladi.
Balkani aylanish inertsiyasi va siljishini hisobga olingan elastik-plastik dempferlash holidagi buralma tebranishlar tenglamasi M. P. Galin [20] va V.Q.Qabulova [21] ishlarida berilgan.