X. Q. Jumaqulov f m. f n D. B. Olimova 2-kurs talabasi (qdpi) Resume

UMUMIY O’RTA TA’LIM MAKTABLARIDA KOMBINATORIKA BO’LIMINING O’QITILISHI HAQIDA
X.Q.Jumaqulov f.m.f.n
D.B.Olimova 2-kurs talabasi (QDPI)
Resume
Umumiy o’rta ta’lim maktablarida o’quvchilarga kombinatorik tushunchalarni berishda bu mavzuga oid masalalar bilan ishlash, kundalik hayotda duch keladigan aynan kombinatorika bilan bog’liq vaziyatlarni o’rgatish yuqori samara beardi. Ushbu maqolada kombinatorikaning qoidalari, asosiy tushunchalari va formulalarini o’quvchilarga o’rgatishda kundalik hayotda ishlatiladigan masalalar va ularni yechish yo’llari ko’rsatib berilgan.
Kalit so’zlar: kombinatorika, ko’paytirish qoidasi, o’rin almashtirishlar, qo’shish qoidasi, o’rinlashtirishlar, gruppalashlar, faktorial

Zamonning taraqqiyoti hozirda respublikamizning umumiy o’rta ta’lim maktablari o’quvchilarida yanada ko’proq amaliy masalalarni yechish ko’nikmasini hosil qilib borish kerakligini taqozo etmoqda. Chunki amaliy masalalarni yechish o’quvchi ongida matematik tasavvurlarni hayotning qaysi jabhasida qo’llay olish mumkinligini shakllantirishda katta ahamiyat kasb etadi. Jamiyatimizning juda ko’p sohalaridagi iqtisodiy-ijtimoiy muammolari aynan statistik qonunlar asosida baholanadi va yechiladi. Umumiy o’rta ta’lim maktablarining 11-sinf matematika darsligidagi ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistikani o’qitishda kombinatorika elementlari muhim o’rin tutadi. Hatto tasodifiy hodisalarning ehtimolligini hisoblanadigan elementar misollarda ham asoslangan (chuqur) kombinatorik bilimlar kerak bo’ladi.

Yana shuni ta’kidlash kerakki, kombinatorika ehtimollar nazariyasi bilan azaldan uzviy bog’liq. Bunga matematikaning yangi bir tarmog’ining ajrab chiqishiga sabab bo’lgan qimor o’yinlarini tarixi misol bo’ladi (o’yinlarda ehtimollik aynan kombinatorik ma’lumotlariga tayanib yechiladi). Shuning uchun ham o’qitishning boshlang’ich bosqichlarida kombinatorikani va ehtimolliklarni uzviy ravishda o’qitish mumkin.
Umumiy o’rta ta’lim maktablarining 5-11-sinflaridagi matematika darslarida “kombinatorika” mavzularini o’rganish uchun 16 soat ajratilgan. Unda ko’paytirish qoidasi, o’rin almashtirishlar, qo’shish qoidasi, o’rinlashtirishlar va gruppalashlar o’rgatiladi. Bu mavzuni o’rganishning asosiy maqsadi kombinatorikaning asosiy qoida va formulalari bilan tanishish. Bu mavzuning amaliy ahamiyati shundaki, o’quvchilar masalalarni yechishda kombinatorikaning qo’shish qoidasi, ko’paytirish qoidasi, o’rin almashtirishlar va o’rinlashtirishlardan foydalanishni o’rganib olishlari kerak.
Kombinatorika – matematikaning keng tatbiqlarga ega bo’limlaridan biri. Kombinatorikani o’rganishni boshlashdan avval, o’quvchilarga bir qator masalalarni taqdim etish kerak. Bu masalalar “nechta usul bilan?”, “hammasi bo’lib nechta variant bor?” kabi savollarga asoslanadi. Turmushda, texnikada va ishlab chiqarishda uchraydigan masalalarni yechish usullari ko’p bo’lishi mumkin. Misol uchun: futbol chempionatida jamoalar o’rtasida nechta usul bilan oltin, kumush va bronza medallari egallanishi mumkin? Agar telefon raqamlari to’rt xonali va 9 raqami bilan boshlansa ko’pi bilan nechta abonent mavjud? Bu usullarning soni nechta? Ularni qanday hisoblash mumkin? Umuman olganda, barcha mumkin bo’lgan variantlar soni sanaladigan masalalarni kombinatorik masalalar deyiladi.
O’quvchilarga kombinatorikani o’rgatishda quyidagi metodik ketma-ketlikdan foydalanish mumkin:

1. 
   Masalalarni diqqat bilan o’rganib, kombinatorik qoidalar (ta’rif, formula, va h.k.)ning qaysi biriga mos kelishini aniqlanadi.
   
2. 
   Qoidaning o’zini qayta shakllantirilgan tilda kiritiladi.
   
3. 
   Sof kombinatorikaga xos bo’lgan misollar yechiladi.
   

Darslarda ko’riladigan kombinatorikaning qoidalari, tushunchalari va formulalari bilan tanishib chiqaylik.
Ko’paytirish qoidasi. Kombinatorika elementlarini o’qitishni ko’paytirish va qo’shish qoidalaridan boshlash kerak. Bu mavzuni o’qitishning metodik xususiyati shundan iboratki, ko’paytirish va qo’shish qoidalari formal berilmaydi, ammo qoidalar qo’yilgan masalani tub mohiyatidan va tarkibiy xulosalardan foydalanib quriladi. Buning uchun muammoli vaziyat hosil qilish metodikasidan foydalanamiz. Bu metodika quyidagi masalalar orqali amalga oshiriladi.
Andijondan Namanganga uch usul bilan borish mumkin, avtobusda, temir yo’lda va avtomobil orqali, Namangandan Qo’qonga esa ikki usul: temir yo’l orqali va avtomobil bilan borish mumkin. Andijondan Qo’qon shahriga Namangan orqali necha xil usul bilan yetib borish mumkin?
Bu masalaning yechimi rasm orqali oson tasavvur etiladi.

Avval Andijondan Namangangacha bo’lgan safardagi uch usuldan birini tanlasak, u qolgan Namangandan Qo’qongacha bo’lgan yo’lni faqat ikki usul bilan yurishi mumkin. Jami 3×2=6 usul bilan borish mumkin ekan.
Bu misolni asoslanib ko’rib chiqqanimizdan keyin ko’paytirish qoidasining o’zi ketma-ket bajariladigan amallar formal ifodalanadi.
Umuman olganda biror harakatni m ta usul bilan amalga oshirish mumkin bo’lsa, undan so’ng boshqa harakatni n usul bilan bajarish mumkin bo’lsa, u holda bu ikki harakatni m×n ta usul bilan amalga oshirish mukin.
Endi ko’paytirish amali 3 va undan ko’p bo’lgan harakatlar uchun ham qo’llaylik. Qo’llab ko’rish sifatida navbatdagi misoldan foydalanish mumkin:
O’zbekiston futbol ligasida 12 ta komanda ishtirok etadi. Sovrinli o’rinlar necha xil usul bilan taqsimlash mumkin.
Yechish: 1-o’rinni 12 ta komandaning ixtiyoriy bittasi qo’lga kiritishi mumkin. Ikkinchi o’rinni qolgan 11 ta komandaning biri egallashi mumkin, uchinchi o’rinni esa 10 ta komandaning biri. Demak, chempionat yakunida komandalar sovrinli o’rinlarni 12×11×10=1320 usulda yutib olishlari mumkin ekan.
Aylanada olingan 5 ta nuqta A, B, C, D, E harflari bilan belgilangan. Har bir nuqta qolgan nuqta bilan tutashtirilsa, nechta kesma hosil bo’ladi?
Bu masalani yechishda quyidagi usullardan foydalanish mumkin (1-rasm):
1-usul: Nuqtalar soni kam bo’lganligi uchun, masalaga mos shaklni chizib, kesmalar sonini bevosita sanab chiqish mumkin. Ular 10 ta. Ammo aylanada olingan nuqtalar soni ko’p bo’lsa, mos shakl chizish va undagi kesmalarni sanash qiyinlashadi. Bunday holatda kombinatorik formulalar orqali quyidagicha hisoblash mumkin.
O’quvchi tasavvurida berilgan masalani shakllantirish uchun avval chizma orqali ko’rsatish, keyin formulaga qo’yib tushuntirish maqsadga muvofiq.
2-usul: Aylanada olingan 5 ta nuqtaning har biridan 4 tadan kesma o’tkaziladi. Bunday kesmalar soni 5*4=20 ta. Ammo kesmalar sonini hisoblashda har bir kesma 2 marta sanalgan. Demak, 20 ni 2 ga bo’lib, 10 ta kesma o’tkazilganini topiladi.
3-usul: A nuqtani qolgan 4 ta nuqta bilan tutashtirsak, 4 ta kesma hosil qilamiz: AB, AC, AD, AE. B nuqtadan ham 4 ta kesma o’tkazish mumkin, ammo B nuqtadan o’tkazilgan bitta kesmani (ya’ni BA=AB) biz yuqorida sanadik. Demak, B nuqtadan 3 ta yangi (avval sanalmagan) kesma o’tkazamiz. Shunga o’xshash C nuqtadan 2 ta kesma, D dan esa 1 ta yangi kesma o’tkazish mumkin. E nuqtadan o’tkazilgan kesmaning hammasi avval sanalgan: EA=AE, EB=BE, EC=CE, ED=DE. Demak, ayalanada belgilangan 5 ta nuqtani tutashtiruvchi jami kesmalar soni 4+3+2+1+0=10 ta.
Shundan so’ng o’quvchilarga mustaqil ravishda ko’paytirish qoidasiga doir misollar beriladi.

1. 
   1, 3, 5, 6, 8 raqamlardan nechta ikki xonali sonni hosil qilish mumkin?
   

• 
  Ularning nechtasi beshga karrali?
  
• 
  Ularning nechtasi yozilganda har bir raqami qaytarilmaydi?
  

2. 
   Uchta raqamdan tashkil topgan qulfni necha xil usul bilan kodlash mumkin?