Russian Mathematics Education

Elements of algebra

All programs study equalities and inequalities (beginning in the first

grade), numerical expressions and expressions with variables, equations

(typically beginning in the first and second grades; but, in Istom-

ina (2009), only in the fourth grade), and elements of functional

propedeutics. The following exercise may serve as an example:

Substitute appropriate numbers for letters. Solve. Compare values.

a − b ÷ c and (a − b) ÷ c. What numbers can take the place of a, b,

c, and what numbers cannot? (Alexandrova, 2009, 4th grade, pt. 1,

p. 147)

---

March 9, 2011

15:1

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch02

74

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

Additionally, some of the textbooks look at solving problems by

means of equations, solving equations based on the properties of

equalities, and complex form equations. For example, Arginskaya et al.

(2009) include the following exercise for the third grade:

Compare the equations. What is the difference between the equations

in the right column and the left column?

12x − x − 55 = 0

2

· (y − 15) + 8y = 5

5

+ 6a + 4a = 95

2

· (x + 3) + 5 = 17

3

· (x − 1) + 12 = 18

(k + 3) · 5 − 34 = 31

7.2.6

Elements of combinatorics

Several textbooks consider combinatorial problems (finding commu-

tations, permutations, or combinations), solving them either directly

by enumeration or using tables and graphs. Here are some examples:

• You have the following products to prepare a breakfast: banana,

coconut, baked potato, fish. How many different breakfasts

consisting of two dishes will you be able to put together?

(Bashmakov and Nefedova, 2009)

• Write down all possible three-digit numbers composed of the

digits 3, 5, and 0. (Moro et al., 2009)

• Masha, Vika, Alla, and Tania call each other before a trip. How

many phone calls did they make if every girl spoke once to every

other girl? (Ivashova et al., 2009)

The last problem may be solved with the help of a table or a diagram:

Fig. 4.

---

March 9, 2011

15:1

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch02

The History and the Present State

75

7.2.7

Elements of logic, set theory, modeling

Some of the curriculum “complexes” consider elements of set theory,

including such concepts as sets, member of a set, ways of defining a

set, intersection of sets, union of sets, and properties of sets (Dorofeev

and Mirakova, 2009; Ivashova et al., 2009; Peterson, 2009). Some

of the textbooks take up construction of basic logical expressions

using the words “and,” “or,” “if … , then … ” (Alexandrova, 2009;

Istomina, 2009; Ivashova et al., 2009; Peterson, 2009; Rudnitskaya

and Yudacheva, 2009). Students are asked to compose expressions of

various types and determine their truth value.

Many of the textbooks contain exercises aimed at developing

mental operations, including exercises involving comparison, analysis,

classification, generalization, concretization, and pattern detection

(especially in tables of addition and multiplication).

It should be noted that all “complexes” make use of modeling. The

ability to use different kinds of models and to express information in

different languages (figural, graphic, symbolic, and verbal) not only

helps in grasping the principles of elementary-level mathematics but

also develops in the student an understanding of the mathematical

method of learning about the world — mathematical modeling —

which conforms to the requirements of the educational standard

(http://standart.edu.ru/catalog.aspx?CatalogId=531).

Accordingly, Alexandrova (2009) asks students not only to analyze

existing models but also to construct their own, or reconstruct mag-

nitudes from graphic and symbolic models (formulas). All textbooks

use diagrams (circles, squares), diagram drawings, and tables to model

relationships between magnitudes. Rudnitskaya and Yudacheva (2009)

use graphs. Virtually all textbooks make extensive use of modeling

when dealing with arithmetical problems.

7.2.8

Working with data

The “second-generation” educational standard introduces a new topic:

“Working with data.” As of now, it does not yet appear in every

textbook. According to the standard, a student must be able to

read simple worksheets and fill them in with data, and read simple

---

March 9, 2011

15:1

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch02

76

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

bar charts. A graduating student must have had the opportunity to

learn to read simple pie charts and to complete bar charts; recognize

identical information presented in a different form; gather and present

information in the form of worksheets and diagrams; and interpret

information gathered through basic research (explain, compare, and

generalize data; draw conclusions and make predictions).

All curriculum “complexes” include some type of assignments

involving worksheets; several textbooks (Chekin, 2009; Demidova,

2009; Ivashova et al., 2009; Peterson, 2009) have introduced extensive

data analysis, including work with diagrams, such as:

Use the information in the following diagram to compose and solve

a problem with comparison (Chekin, 2009):

0     10     20     30     40     50     60     70     80     90    100    110

Concerning computer literacy for elementary school pupils, as

outlined in the educational standard, let us note that grades 4 and

5 study “Informatics” as a separate subject, and that various types

of computer-based study supplements — both topic-specific and

more general — have been developed and are currently in use. The

author of the present chapter is responsible for the mathematical

component of the integrated learning “complex” — “Discovering the

Laws of Language, Mathematics and Nature” — for grades 1–4. The

materials have been evaluated by experts in a variety of disciplines and

subsequently made available online through the Consolidated Digital

Educational Resources of the RF Ministry of Education (http://

school-collection.edu.ru/catalog/pupil/?class=42). The integrated

“complex” may be used with any of the existing curricula, but naturally

its general approach matches that of Ivashova et al. (2009). In addition

to testing materials, the online “complex” may be used to find new

information and consolidate previously acquired skills. Other textbooks

offer supplemental exercise CD-Roms or online components (e.g.

http://soft.mail.ru/download_page.php? id=413226 &grp=63164).

---

March 9, 2011

15:1

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch02

The History and the Present State

77