Russian Mathematics Education

3.2

The Monographical Method of Learning

the Numbers

This method was devised by the German methodologist A. Grube

3

(1816–1884) and is based on the idea of I. G. Pestalozzi (1746–

1827) that placed visualization at “the basis of all knowledge.” Grube’s

system gave primacy of place to the “principle of a comprehensive

study of numbers,” with a “contemplation of number.” Each number

was related to and measured against its predecessors by means of

subtraction or division. Students were not taught the decimal numer-

ation system, arithmetical operations, or applications of arithmetic in

everyday life. Lankov (1951) wrote:

The study of arithmetic according to Grube’s method is tedious and

“dulls the wits” of the students. Having learned several numbers,

they come to expect nothing other than the same sad prospect of

endless combinations without any pause for reflection upon material

covered. The sense of eternal monotony weakens the students’ resolve

and destroys their interest. (p. 50)

V. A. Evtushevsky

4

(1838–1888) adapted Grube’s method for

Russian schools: children studied in detail the numbers 1 through 20,

as well as those numbers under 100 that have a few prime divisors

(24, 30, 32, etc.). Numbers over 100 were studied later in relation

to arithmetical operations. The simplicity of Evtushevsky’s approach

(from the teacher’s perspective) made it generally popular,

5

although

this approach was later criticized.

3

Grube’s Guidebook for Counting in Elementary Schools, Based on the Heuristic Method

(first German edition in 1842) was published in G. F. Ewald’s Russian translation in

1873.

4

V. A. Evtushevsky, Exercise Book in Arithmetic (1872) and Methodology of Arithmetic

(1872).

5

D. L. Volkovksy (1869–1934) attempted to resurrect this method for teaching

numbers in Russia in his book A Child’s World in Numbers (1913–1916).

---

March 9, 2011

15:1

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch02

44

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

At the same time, Evtushevsky was one of the first to emphasize

the developmental and formative significance of mathematical edu-

cation. He saw its developmental power in the study of the theory

and mechanisms of calculation, and in the application of theoretical

knowledge to practical exercises. The mechanism of calculation is

“a language, by means of which mathematics expresses its ideas,

poses and answers its questions” (Evtushevsky, 1872, p. 24). The

application of this language and theoretical foundations to practical

problems was, according to Evtushevsky, the most significant instance

of the pedagogical effect that the study of mathematics had upon the

development of students’ cognitive skills. Unfortunately, it appears

that the majority of Evtushevsky’s general principles were not realized

in his handbooks, where he had applied his talents to improving a

fundamentally flawed “method of learning the numbers.”

The battle against this formal method was waged for some time by

many Russian educators (A. I. Goldenberg, V. A. Latyshev) and other

members of various intellectual circles.

6

A. I. Goldenberg (1837–1902)

had made a decisive contribution to the struggle. In two articles,

7

he subjected Evtushevsky’s method to a detailed analysis and harsh

criticism, demonstrating the groundlessness of Grube’s assumption

that all numbers under 100 are accessible to direct “observation” and

that all other numbers may be reduced to the first 100 (Lankov, 1951).