Mavzu: Funksiya limiti Reja

Misоl. y=2x+1     funksiyasini x=2 nuqtаdаgi uzluksizligi ko`rsаtilsin

Yechish.  (2x+1)=5;   f(2)=5

Uzluksizlik tushunchаsigа  vа  tilidа quyidаgi tа’rif bеrilgаn.                          

1-ta’rif (Koshi ta’rifi).   >  0 son uchun shunday  = ()>0 son topilsaki, funksiya argumenti x ning |x-x₀|< tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida |f(x)-f(x₀)|< tengsizlik bajarilsa, f(x) funksiya x₀ nuqtada uzluksiz deyiladi,   f(x)=f(x₀).

1-misol. Ushbu f(x)=  funksiyaning x₀=5 nuqtada uzluksiz ekanini ko`rsating.

Yechish.   > 0 son olib, bu  songa ko`ra  >0 soni   =  4 bo`lsin deb qaralsa, u holda |x-5|<  bo`lganda

bu esa qurilayotgan funksiyaning x₀=5 nuqtada uzluksiz ekanini bildiradi.

2-ta’rif (Geyne ta’rifi). Agar X to`plamning elementlaridan tuzilgan va x₀ ga intiluvchi har qanday {x_n} ketma-ketlik olinganda ham funksiya qiymatlaridan tuzilgan mos {f(x_n)} ketma-ketlik hamma vaqt yagona f(x₀) ga intilsa, f(x) funksiya x₀ nuqtada uzluksiz deb ataladi.

Agar   munosabat o`rinli bo`lsa, ushbu  munosabat ham o`rinli bo`ladi.

Odatda x-x₀ ayirma argument orttirmasi, f(x)-f(x₀) esa funksiyaning x₀ nuqtadagi orttirmasi deyiladi. Ular mos ravishda x va y (f(x₀)) kabi belgilanadi, ya’ni: x=x-x₀, y=f(x₀)=f(x)-f(x₀).

Demak, x=x₀+x, y=f(x₀+x)-f(x) natijada,   munosabat   ko`rinishga ega bo’ladi.

Shunday qilib, f(x) funksiyaning x₀ nuqtada uzluksizligi bu nuqtada argumentning cheksiz kichik orttirmasiga funksiyaning ham cheksiz kichik orttirmasi mos kelishi sifatida ham ta’riflanishi mumkin.