Limiti va uzluksizligi

§3. IKKI O‘ZGARUVCHILI FUNKSIYANING EKSTRЕMUMLARI

• 
  Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning lokal ekstremumlari.
  
• 
  Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning shartli ekstrеmumlari.
  
• 
  Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning global ekstremumlari.
  
• 
  Eng kichik kvadratlar usuli.
  

1. 
   Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning lokal ekstremumlari. Berilgan z=f (x,y) funksiya tekislikdagi biror D sohada aniqlangan bo‘lib, M₀(x₀, y₀) bu sohaning ichki nuqtasi bo‘lsin.
   

1-TA’RIF: Agar M₀(x₀, y₀) nuqtaning biror U_r(x₀, y₀) atrofiga tegishli ixtiyoriy M(х,у) nuqta uchun

f (x₀, y₀)≥ f (x,y) [f (x₀, y₀)≤ f (x,y)] (1)

tengsizlik bajarilsa, unda z=f (x,y) funksiya M₀(x₀, y₀) nuqtada lokal maksimumga (minimumga) ega deyiladi.

Masalan, f(x,y)=4–x²–y² funksiya M₀(0,0) nuqtada lokal maksimumga ega, chunki bu nuqtaning ixtiyoriy atrofidagi M(х,у) nuqtalar uchun f(x,y)≥4=f(0,0). Xuddi shunday g(x,y)=4+x²+y² funksiya M₀(0,0) nuqtada g(0,0)=4 lokal minimumga ega ekanligi ko‘rsatiladi.

1-ta’rifda f (x₀, y₀)≥ f (x,y) [f (x₀, y₀)≤ f (x,y)] tengsizlik faqat M₀(x₀, y₀) nuqtaning biror kichik atrofida bajarilishi talab etiladi. Bu tengsizlik, biz yuqorida ko‘rgan misoldagi singari, M₀(x₀, y₀) nuqtaning ixtiyoriy atrofida o‘rinli bo‘lishi shart emas. Shu sababli f(x₀, y₀) lokal maksimum yoki minimum deb atalmoqda.

Agar (1) tengsizlikda x=x₀+∆x va y=y₀+∆y deb olsak, uni lokal maksimum holida

,

lokal minimum holida esa ∆f ≥0 ko‘rinishda yozish mumkin. Shu sababli 1-ta’rifni funksiyaning to‘la orttirmasi orqali quyidagicha ifodalash mumkin.

2-TA’RIF: Agar M₀(x₀, y₀) nuqtaning biror U_r(x₀, y₀) atrofida z=f (x,y)

funksiyaning to‘la orttirmasi uchun ∆f(x₀, y₀) ≤0 (∆f(x₀, y₀) ≥0) tengsizlik bajarilsa, unda bu funksiya M₀(x₀, y₀) nuqtada lokal maksimumga (minimumga) ega deyiladi.

3-TA’RIF: Funksiyaning lokal maksimum va minimumlari birgalikda funksiyaning lokal ekstrеmumlari deyiladi.

2-ta’rifga asosan funksiya M₀(x₀, y₀) nuqtada lokal ekstremumga ega bo‘lishi uchun uning bu nuqtadagi ∆f(x₀, y₀) to‘la orttirmasi ∆x va ∆y argument orttimalarining turli kichik qiymatlarida o‘z ishorasini o‘zgartirmasligi lozim.

Yuqoridagi misolda ko‘rib o‘tilgan f(x,y)=4–x²–y² va g(x,y)=4+x²+y² funksiyalar uchun lokal ekstremumlar f(x,y) va g(x,y) ifodalari bo‘yicha bevosita topildi. Ammo murakkabroq ko‘rinishdagi funksiyalar uchun bunday qilib bo‘lmaydi. Shu sababli umumiy holda ikki o‘zgaruvchili funksiyaning lokal ekstrimumlarini topish masalasi paydo bo‘ladi. Bu masala bir o‘zgaruvchili funksiyalar uchun oldin (VI bob,§5) ko‘rilgan edi. Bu yerda z=f (x,y) funksiyani ekstremumga tekshirish ham shunga o‘xshash amalga oshirilishini ko‘ramiz.