I bap klassikalıq Shur teńsizligi 1 Dáslepki túsinikler hám belgilewler Vektor keńislikler

1.2.1-eskertiw. Uqsaslıq da ekvivalent qatnas boladı; yaǵnıy, uqsaslıq refleksiv, simmetrik, hám tranzitiv qatnas boladı.
1.2.1-teorema. Meyli bolsın. Eger matricası matricasına uqsas bolsa, onda hám lar birdey xarakteristikalıq kópaǵzalıǵa iye boladı.
Dálillew.
(1.17)
◻
1.2.1.1-saldar. Meyli bolsın. matricası matricasına uqsas dep uyǵaramız. Onda (a) hám matricaları birdey menshikli sanlarǵa iye.
(b) Eger diagonal matrica bolsa, onıń bas diagonal elementleri matricasınıń menshikli sanları boladı.
(c) (diagonal matrica) tek hám tek sonda ǵana bolsa.
(d) (diagonal matrica) tek hám tek sonda ǵana bolsa.

1.2.5-anıqlama. Eger matricası diagonal matricaǵa uqsas bolsa, onda diagonallanıwshı delinedi.

1.2.2-teorema. Meyli berilgen bolsın. Eger de sonday sızıqlı ǵarezsiz dana vektorlar bar bolıp, olardıń hár biri matricasınıń menshikli vektorı bolsa tek hám tek sonda ǵana matricası tómendegishe formadaǵı blok matricaǵa uqsas boladı
(1.18)
Eger sonday dana sızıqlı ǵarezsiz vektorlar bar bolıp , olardıń hár bir matricasınıń menshikli vektorı bolsa tek hám tek sonda ǵana matricası diagonallanıwshı boladı. Eger lar nıń sızıqlı ǵarezsiz vektorları hám bolsa, onda diagonal matrica boladı. Eger matricası ([1.3.7.1]) formasındaǵı matricaǵa uqsas bolsa, onda nıń diagonal elementleri matricasınıń menshikli sanları boladı; eger matricası diagonal matricasına uqsas bolsa, onda nıń diagonal elementleri matricasınıń menshikli sanları boladı.
Unitar uqsaslıq hám Unitar ekvivalentlilik
Unitar matricalar
-anıqlama 1.6. Meyli matricası berilgen bolıp esaplanadı. Eger orınlı bolsa, onda matricası unitar delinedi . Eger orınlı bolsa, onda matricası haqıqıy ortogonal delinedi.
-anıqlama 1.7. Meyli berilgen bolsın. Eger sonday unitar matricası bar bolıp orınlı bolsa, onda biz matricası matricasına unitar uqsas deymiz. Eger haqıqıy (demek, haqıqıy ortogonal), onda matricası matricasına haqıqıy ortogonal uqsas dep ataymız. Eger matricası diagonal matricaǵa unitar uqsas bolsa, onda onı unitar diagonallanıwshı deymiz; eger matricası diagonal matricaǵa haqıqıy ortogonal uqsas bolsa, onda ol haqıqıy ortogonal diagonallanıwshı delinedi.
Unitar uqsaslıq ekvivalentlik qatnas boladı
-teorema 1.4. Meyli hám lar unitar matricalar bolıp, hám matricaları teńligin qanaatlandırsın. Onda orınlı boladı. Dara jaǵdayda, bul teńlik hám bolsa orınlı boladı, yaǵnıy, matricası matricasına unitar uqsas bolsa.
Dálillew. ekenin tekseriw jetkilikli; (1.1.0.0.7) ke qarań. Esaplaymız, . ◻
-teorema 1.5. (Schur forması)Meyli matricası menshikli sanlarına iye hám birlik vektorı teńligin qanaatlandırsın.
(a) Sonday matricası bar bolıp, diagonal elementleri bolǵan matricası joqarı úshmúyeshli boladı.
(b) Eger matricası tek ǵana haqıqıy menshikli sanlarǵa iye bolsa, onda sonday haqıqıy vektorın saylap alıw múmkin, diagonal elementleri bolǵan hám teńlikti qanaatlandıratuǵın joqarı úshmúyeshli matricası bar boladı.
Dálillew. Meyli vektorı matricasınıń ǵa qarata menshikli vektorı hám normallanǵan bolsın, yaǵnıy, hám . Meyli birinshi baǵanası qa teń bolǵan qálegen unitar matrica bolsın. Onda

sebebi diń baǵanaları ortonormal. úles matricasınıń menshikli sanları ge teń. Eger bolsa biz maqsetimizge jettik. Eger onday bolmasa, onda meyli vektorı matricasınıń ge qarata birlik menshikli vektorı bolsın, ústinde aldıńǵı júristi dawam etemiz. Eger matricası birinshi baǵanası bolǵan birlik matrica bolsa, onda biz tómendegini kóremiz

Meyli bolsın hám unitar uqsaslıqtı esaplaymız

Bul redukciyanı unitar matricalardı hám unitar matricalardı kelip shıqqanǵa shekem dawam etemiz. matricası unitar hám matricası joqarı úshmúyeshli.
Eger matricasınıń menshikli sanları haqıqıy bolsa, onda barlıq menshikli sanlar hám unitar matricalar aldıńǵı algoritm boyınsha haqıqıy etip saylap alınıwı múmkin. ◻
Normal matricalar
Unitar uqsaslıq temasınıń keńeyiwi menen payda bolatuǵın normal matricalar klassı matricalıq analizdiń áhimiyetli túsinikleriniń biri; ol óz ishine unitar, ermit, anti ermit, haqıqıy ortogonal, haqıqıy simmetrik hám haqıqıy anti simmetrik matricalardı aladı.
-anıqlama 1.8. Meyli berilgen bolsın. Eger orınlı bolsa, yaǵnıy, matricası óziniń túyinlesi menen kommutativ bolsa, onda ol normal matrica delinedi.
-teorema 1.6. Meyli matricası menshikli sanlarına iye bolsın. Tómendegi aytımlar teń kúshli boladı:
(a) matricası normal.
(b) matricası unitar diagonallanıwshı.
(c) .
(d) matricası ortonormal menshikli vektorlarǵa iye.

Dálillew. (1.5) ni qollana otırıp nı jazamız , bul jerde unitar hám joqarı úshmúyeshli.

Eger normal bolsa, onda matricası da normal boladı ( hár bir matrica ǵa unitar uqsas bolǵanlıqtan). Aldın kórgen lemma boyınsha diagonal matrica, solay etip, unitar diagonallanıwshı eken.
Eger sonday unitar bar bolıp, hám bolsa, onda (1.4) boyınsha , bul bolsa (c) shártti ańlatadı.
matricasınıń diagonal elementleri bazı bir tártipte jaylasqan lerden ibarat, hám sonlıqtan . Bunnan, (c) boyınsha , solay etip, diagonal matrica. teńligi birdeyligine teń kúshli, bunnan hár bir ushın . Demek, diń dana baǵanası matricasınıń menshikli vektorı boladı.
Ortonormal vektorlar óz-ara sızıqlı ǵarezsiz bolǵanlıqtan, (d) boyınsha matricası diagonallanıwshı hám de diagonal uqsas matrica baǵanaları ortonormal etip saylap alınıwı múmkin (1.3). Bul matricası diagonal matricaǵa unitar uqsas ekenin, yaǵnıy normal ekenin bildiredi. ◻
-teorema 1.7. Meyli ermit matricası hám menshikli sanlarına iye bolsın. matricasın alayıq. Onda
(a) are real.
(b) matricası unitar diagonallanıwshı.
(c) Sonday unitar bar bolıp, .

Dálillew. Diagonal ermit matricası haqıqıy diagonal elementlerge iye bolıwı kerek, sonlıqtan (a) shárti (b) dan kelip shıǵadı hám de ermit matricalar kópligi unitar uqsaslıq boyınsha tuyıq ekenin aytıp ótemiz. (b) shárti (1.6) den kelip shıǵadı, sebebi ermit matricalar normal boladı. (c) shárti (b) nı tákirarlaydı hám nıń diagonal elementleri matricasınıń menshikli sanları bolıwın qamtıydı. ◻

Ermit matricaları, simmetrik matricalar
matricası bolsa onıń menshikli sanları haqıqıy bolıwınan, olardı algebralıq kemeymeytuǵın tártipte jaylastırıw múmkin

-teorema 1.8. (Rayley)Meyli ermit matricası hám onıń menshikli sanları ([4.2.1]) sıyaqlı tártiplengen bolsın. larda teńsizlikleri, ortonormal vektorları ushın larda hám de teńlikleri orınlı bolsın. Onda
(a)
(b) qálegen birlik vektorı ushın orınlı boladı, eger (sáykes túrde, ) bolsa tek hám tek sonda ǵana oń qol (sáykes túrde, shep qol) teńsizligi teńlikke aylanadı.
(c) qálegen birlik vektorı ushın orınlı boladı eger (sáykes túrde, ) bolsa tek hám tek sonda ǵana oń qol (sáykes túrde, shep qol) teńsizligi teńlikke aylanadı; sonday-aq,
Dálillew. Eger nolden ózgeshe bolsa, onda birlik vektorhám . Qálegen birlik vektor ushın, sonday skalyar lar bar bolıp, orınlı boladı; ortonormallıq sebepli na iye bolamız. Onda

haqıqıy sanlarınıń kombinaciyası boladı, solay etip, ol sanlarınıń eń kishisi menen sanlarınıń eń úlkeniniń arasında jatadı. Sonday-aq, eger bolıp, bolsa tek hám tek sonda ǵana , bolsa tek hám tek sonda ǵana, vektorı matricasınıń menshikli sanına qarata menshikli vektorı bolsa tek hám tek sonda ǵana teńligi orınlanadı. Usıǵan uqsas dálil ushında keltiriledi. Eger bolsa, bolǵanlıqtan, (b) tastıyqlawı (c) tastıyqlawın keltirip shıǵaradı. ◻
-lemma 1.9. (Úles keńisliklerdiń kesilispesi)Meyli keńislikleri niń úles keńislikleri bolsın . Eger bolsa, sonday ortonormal vektorları bar bolıp orınlı boladı. Dara jaǵdayda, óz quramında birlik vektordı tutadı.
Dálillew. (1.1.0.0.4) ge qarań. kópligi úles keńislik boladı, hám orınlanadı. Bul jerde lar diń ortonormal bazisiniń qálegen dana elementi. ◻
-teorema 1.10.
Meyli ermit matricası berilgen hám tómendegishe bóliniwge iye bolsın
Aytayıq, hám matricalaranıń menshikli sanları (4.2.1) kóriniste tártiplengen bolsın. Onda
orınlı boladı; sonday-aq, eger sonday nollik bolmaǵan bar bolıp, hám teńliklerin qanaatlandırsa tek hám tek sonda ǵana tómengi teńsizlik teńlikke aylanadı; eger sonday nollik bolmaǵan bar bolıp, hám teńliklerin qanaatlandırsa tek hám tek sonda ǵana joqarı teńsizlik teńlikke aylanadı.
Eger , hám
bolsa, onda orınlı boladı hám sonday ortonormal vektorları bar bolıp hár bir r ushın hám orınlanadı.
Eger , hám
bolsa, onda orınlı boladı hám sonday ortonormal vektorları bar bolıp hár bir r ushın hám orınlanadı.
Dálillew. Meyli hám lar sáykes túrde hám matricalaranıń ortonormal menshikli vektorları bolıp, hám orınlı bolsın. Meyli bolsın. Berilgen ushın, hám bolsın. Onda

;
solay etip, (1.9) boyınsha sonday birlik vektorı bar boladı. ekenliginen, ol bazı bir birlik vektorı ushın kóriniste boladı. Tómendegige iye bolamız

endi eki teńsizlikke iye bolıw ushın (1.8) ni eki mártebe qollanamız

Birinshi teńsizlik dan hám ekinshi teńsizlik kelip shıǵadı. ([4.3.33]) degi teńlik belgisi bazı bir birlik vektorı ushın (1.8) degi teńlik jaǵdayınan kelip shıǵadı, hám teńsizlik hám dan kelip shıǵadı. Eger hám matricalaranıń menshikli sanları ([4.3.31]) di qanaatlandırsa, onda ([4.3.30]) boyınsha orınlı, solay etip, . Meyli hám bolsın. Onda r, solay etip, (1.9) dan mınaǵan iye bolamız r. Bunnan kelip shıǵadı sonday ortonormal bar bolıp, hár biri kóriniske iye, lar da ortonormal vektorlar boladı, hám teńlikleri hár bir r ushın orınlanadı. ([4.3.31]) shi teńlikleri usı tárizde dálillenedi. ◻

-saldar 1.2. Meyli ([4.3.29]) kóriniste bóliniwge iye ermit matricası bolsın, hám matricasınıń menshikli sanları ([4.2.1]) sıyaqlı tártiplengen bolsın. Onda hám teńsizlikleri orınlı boladı. Eger ([4.3.35a],[4.3.35b]) lardıń birinde teńlik orınlı bolsa, onda hám orınlı boladı. Ulıwmalastırıp aytqanda, matricası ushın lerde bolsın dep uyǵaramız. Eger hár bir ushın
orınlı bolsa, onda ; nıń menshikli sanları , nıń menshikli sanları , h.t.b. eger hár bir ushın
orınlı bolsa, onda ; nıń menshikli sanları , nıń menshikli sanları , h.t.b.
Dálillew. ([4.3.30]) shep tárep teńsizligi boyınsha , solay etip, dan kelip shıǵadı. Usıǵan uqsas, ([4.3.30]) dıń oń tárep teńsizligi boyınsha kelip shıǵadı. ([4.3.30],[4.3.31],[4.3.32]) ler boyınsha matricasınıń sonday ortonormal menshikli vektorlar bar bolıp, boladı. ekenliginen, degen juwmaqqa kelemiz.
([4.3.35a]) nıń teńlik jaǵdayınan hám induksiya arqalı ([4.3.36a]) dan ekenligi kelip shıǵadı . Meyli bolsın, onda matricasın kórinisinde jazamız. ekenliginen , hám de nıń menshikli sanları sıyaqlı tártiplengen ekenligi kelip shıǵadı.Meyli matricasın kóriniste jazıp alayıq, bul jerde . ([4.3.36a]) niń bolǵandaǵı halatınan niń eń kishi menshikli sanı qa teń ekeni kelip shıǵadı, solay etip, , ([4.3.36b]) tastıyqlawı ([4.3.35b]) sıyaqlı induksiya arqalı kelip shıǵadı. ◻
-anıqlama 1.9. Meyli hám berilgen bolsın. Eger larda
teńsizligi orınlı bolsa, onda biz vektorı vektorın majorlaydı deymiz.
-anıqlama 1.10. Meyli berilgen bolsın. Elementleri tiń elementlerinen ibarat, biraq óspeytuǵın etip jaylastırılǵan vektorǵa vektorınıń óspeytuǵın qayta jaylastırılıwı delinedi. E lementleri tiń elementlerinen ibarat, biraq kemeymeytuǵın etip jaylastırılǵan vektorǵa vektorınıń kemeymeytuǵın qayta jaylastırılıwı delinedi.
-teorema 1.11. (Schur)Meyli ermit matricası bolsa, onda onıń menshikli sanlarınan dúzilgen vektorı onıń bas diagonal elementlerinen dúzilgen vektorın majorlaydı, yaǵnıy larda
teńsizligi orınlı boladı, al, teńlik belgisi da orınlı boladı.
Dálillew. Meyli matricası matricasınıń diagonaldaǵı shi elementi hár bir ushın ǵa teń bolatuǵınday etip saylap alınǵan orın almastırıw matricası bolsın. matricasınıń (sonday-aq, matricasınıń) menshikli sanlarınıń vektorı matricasınıń menshikli sanlarınıń vektorı ǵa teń boladı. matricasınıń bóliniwi (4.3.29) sıyaqlı boladı. Meyli berilgen bolsın. Onda (4.3.36) boyınsha ; álbette, . Eger (4.3.46) de bazı bir teńlik ushın orınlansa, onda (1.2) nen ekeni kelip shıǵadı, bul jerde . ◻
Shekli ólshemli hám -shekli ólshemli
tolıq banax moduliniń endomorfizmleriniń spektri
Gilbert-Kaplanskiy moduli
Meyli ólshewli keńislik bolıp, ólshewi -shekli ólshew, bolsa da berilgen barlıq kompleks ólshewli funksiyalar algebrası (derlik barlıq jerde teń teń kúshli) bolsın. da dara tártipti anıqlaymız, yaǵnıy,eger derlik barlıq jerde bolsa dep alamız. Algebra kúshsiz birlik penen tolıq rechetka boladı, al degi hám barlıq idempotentleriniń kópligi jup tiptegi tolıq bull algebranı payda etedi.
Biz degi -jıynaqlılıq penen birge, degi ólshew boyınsha lokal jıynaqlılıq da kórip shıǵamız. Qálegen ushın ólshewi boyınsha ekenligi diń elementine lokal ólshew boyınsha jıynaqlı ekenligin ańlatadı. Lokal ólshew boyınsha jıynaqlılıq de óz aldına topologiyanı anıqlaydı, bul topologiya -tolıq metrikalıq *-algebraǵa baylanıslı boladı, jıynaqlı ekenliginen jıynaqlılıǵı kelip shıǵadı.
daǵı -jıynaqlılıq penen birge, lokal ólshew boyınsha -norma hám jıynaqlılıqtan kelip shıǵatuǵın topologiyalıq jıynaqlılıq qaraladı. Meyli - daǵı noldıń tirapındaǵı sanaqlı bazis bolsın. etip belgilep alamız. da ajıralatuǵın topologiyası bar bolıp, bul jerde -keńisligi noldiń dógeregindegi sanaqlı baziske iye topologiyalıq vektorlıq, -metrikalıq keńislik boladı.
Eger keńisligi tolıq metrikalıq topologiyalıq vektor keńislik bolsa tek hám tek sonda ǵana -moduli -banax boladı.
-moduldiń áhimiyetli mısalları qálegen ti qa sáwlelendiriwshi barlıq ólshewli boxner sáwlelendiriwleriniń -moduli bolıp xizmet etedi(derlik barlıq jerde teń kúshli sáwlelendiriw anıqlanǵan). da -norma derlik barlıq jerde ushın teńligi arqalı beriledi.
Endi ústinde Gilbert-Kaplanskiy modulin anıqlaymız. Meyli moduli -modul bolsın. Eger barlıq hám larda tómendegi shártler orınlansa:
1) hám ;
2) ;
3) ;
4)
onda sáwlelendiriwi -mánisli ishki kóbeyme dep ataladı.
-mánisli ishki kóbeymeden paydalanıp, hár bir elementine normanı sáykes qoyamız. Koshi-Bunyakovskiy teńsizligi boyınsha, norması keńisliginde -norma boladı. Eger - banax -moduli bolsa, onda juplıǵı ústinde Gilbert-Kaplanskiy moduli dep ataladı.
Gilbert-Kaplanskiy moduli hám kópligi berilgen bolsın. Eger barlıq larda hám bolsa , onda ortonormallanǵan dep ataladı. Eger barlıq larda teńlikten teńlik kelip shıqsa, onda ortonormal kóplik keńisligindegi ortonormal tiykar delinedi. Eger Gilbert-Kaplanskiy moduliniń bazisi ólshemli bolsa, onda ol -bir tekli delinedi.
-teorema 2.1. Meyli -keńisligi kompleks sanlar maydanı ústinde Gilbert keńisligi bolıp, hám derlik barlıq jerde da teńlikleri orınlı bolsın. Onda moduli ústinde -bir tekli Gilbert-Kaplanskiy moduli boladı.
Sonıń menen birge, Gilbert keńislikleri ushın dálillengeni sıyaqlı tómendegi teorema dálilenedi.
-teorema 2.2. Eger kópligi keńisligindegi ortonormallanǵan kóplik hám bolsa, onda sonday bar boladı. Bunnan, eger -bazis bolsa onda teńligi kelip shıǵadı.
(2.2) den tómendegi teorema tuwrıdan-tuwrı kelip shıǵadı.
-teorema 2.3. Eger hám lar ústinde -bir tekli Gilbert-Kaplanskiy moduli bolsa, onda hám izometrik izomorf boladı.
Dálillew. hám keńislikleri -bir tekli bolǵanlıqtan keńisliginde , al, keńisliginde bolsa bazisi bar bolıp, orınlı boladı. Sol sebepli, bieksiya bar boladı.
(2.2) boyınsha, sáwlelendiriwi dan barlıq qa qaray tómendegi formula boyınsha dawam etedi:

Ápiwayi etip aytqanda, sáwlelendiriwi den qa ótkeriwshi izometrik izomorfizm boladı. ◻
ústinde -bir tekli Gilbert-Kaplanskiy moduli ushın quwatlıqtiń birden birligi haqqında soraw kelip shıǵadı. Tómendegi teorema shekli quwatlıq ushın joqarıdaǵı sorawǵa unamlı juwap beredi.
-teorema 2.4. Meyli keńisligi -bir tekli Gilbert-Kaplanskiy moduli bolıp, -natural san, al, kópligi ortonormal bazis bolsın, onda orınlı boladı.
Dálillew. Meyli -sisteması -bir tekli Gilbert-Kaplanskiy moduli keńisliginiń bazisi bolsın. (2.2) boyınsha, ekenligi kelip shıǵadı. Eger bolsa, onda vektorları -sızıqlı ǵarezsiz hám de orınlı boladı. Sonıń ushın . Aytayıq, bolsın. kópligi keńisliginiń bazisi bolǵanlıqtan, orınlı boladı . Tap usınday, larda kelip shıǵadı. Teorema dálilendi. ◻
Endi (2.4) teoremanıń sheksiz quwatlıq ushın variantın kóremiz.
-teorema 2.5. Meyli bizge hám sheksiz quwatlıqları hám bir waqıtta -bir tekli hám de -bir tekli bolǵan ústindegi Gilbert-Kaplanskiy moduli berilgen bolsın. Onda orınlı boladı.
Dálillew. ólshewin oǵan ekvivalent ólshewge almastırıw arqalı, dep esaplaw múmkin. Meyli lar keńisliginiń ortonormal bazisleri hám bolsın. Hár bir larda dep uyǵaramız. Biz kópligi sanaqlı emesligin kórsetemiz. ekenine iyemiz, bunnan paydalansaq funksiyası da integrallanıwshı funksiya ekenligin anıqlaymız. (2.2) den ekenligi kelip shıǵadı, bunnan . Eger teńsizligi orınlı bolsa tek hám tek sonda ǵana teńsizligi orınlı boladı. Sonlıqtan kópligi kóbi menen sanaqlı boladı, bunnan degen juwmaqqa kelemiz. ◻
-teorema 2.6. Meyli kópliklerdiń sisteması berilgen bolıp, , al, sheksiz quwatlı san, barlıq larda teńsizligi orınlı bolsın. Onda teńsizligi orınlı boladı.
Dálillew. -sheksiz quwatlıq ekeninen, barlıq larda orınlı boladı, bul jerde arqalı sanaqlı kópliktiń quwatlıǵı belgilengen. (2.6) teoreması boyınsha, . Tap usınday, , hám bunnan ekenligi kelip shıǵadı. ◻
(2.3, 2.4 hám 2.5) lerden tómendegi nátiyjeni alamız:
-saldar 2.1. Meyli - -bir tekli ústinde Gilbert-Kaplanskiy moduli hám ortonormal bazis bolsın. Onda .
ústinde bir tekli Gilbert-Kaplanskiy moduli Gilbert keńisliginiń kóplegen qásiyetlerine iye boladı, Gilbert-Kaplanskiy moduli ushın bul qásiyetler Gilbert ushın qalay dálillenetuǵın bolsa, sol sxemada dálillenedi. Bir tekli Gilbert-Kaplanskiy moduli ushın onıń tuwındısınıń kórinisine iye bolıw áhimiyetli.
-teorema 2.7. Meyli keńisligi ústinde qálegen diskret Gilbert-Kaplanskiy moduli bolsın. Onda da kóbi menen sanaqlı bóliniwi bar bolıp, barlıq larda ústinde -bir tekli diskret Gilbert-Kaplanskiy moduli bar boladı.
Dálillew. keńisligi ústinde diskret Gilbert-Kaplanskiy moduli bolǵanlıqtan,sonday element bar bolıp, orınlı boladı.
tiń múmkin bolǵan barlıq ortonormal úles kóplikleriniń sistemasın qaraymız. Bul sistema bos bolmaydı, sonlıqtan . Corn lemması boyınsha, maksimal elementtin tańlap alıw múmkin. Kórinip turǵanınday, , úles moduli keńisliginde -tuyıq boladı.
Eger bolsa, onda -diskret -modul hám, bunnan, sonday tabılıp, orınlanadı. Demek, , bul niń maksimal ekenine qaram-qarsı keledi. Bul bolsa ekenligin ańlatadı . , bunnan . Kórinip turǵanınday, kóplik keńisliginde bazis boladı.
Joqarıdaǵı pikirlewlerdi dawam ete otırıp, tómendegilerge iye bolamız, qálegen nollik bolmaǵan ushın sonday nollik bolmaǵan bar bolıp, - ústinde bir tekli Gilbert-Kaplanskiy moduli boladı. Bull algebralarınıń qásiyetleri hám bull algebrasınıń sanaqlı tipi ushın, kóbi menen sanaqlı birlik element penen sonday bóliniwi bar bolıp, - ústinde bir tekli Gilbert-Kaplanskiy moduli boladı. ◻
(2.7) teoremadan ústindegi Gilbert-Kaplanskiy modulları ushın júda áhimiyetli qásiyet kelip shıǵadı.
-teorema 2.8. Meyli keńisligi Gilbert-Kaplanskiy moduliniń -úles keńisligi hám -tuyıq bolsın. Onda , larda hár bir element kóriniste birden bir usılda jazıladı.
Dálillew. Meyli, dáslep, keńisligi -bir tekli modul hám kópligi keńisliginiń bazisi bolsın dep alayıq. (2.2) boyınsha sonı anıqlaymız, barlıq element kórinisine iye boladı. Sonlıqtan, . Eger bolsa, onda, (2.2) ge qaray, tan elementtin tańlap alıw múmkin. Kórinip turǵanınday, larda hám de bunnan kelip shıǵadı.
Bir teklilik teńliginen kelip shıǵadı. Meyli keńisligi qálegen -tuyıq modul bolsın. (2.7) teoreması boyınsha, birlik elementke qarata sonday bóliniwi bar bolıp, larda keńislikleri bir tekli úles modul boladı. Joqarıdaǵı pikirlewlerdi hám juplıǵı ushın qollanıp, tómendegige iye bolamız, yaǵnıy barlıq larda , bul bolsa bizge kerekli nátiyjeni beredi, yaǵnıy, . ◻
Bir tekli Gilbert-Kaplan moduliniń endomorfizmleriniń spektri
Meyli keńisligi banax -moduli bolsın. Meyli sızıqlı operatorı berilgen bolsın. Eger sonday bar bolıp, teńsizligi barlıq larda orınlı bolsa, onda operatorına -shegaralanǵan deymiz. Hár bir -shegaralanǵan sızıqlı operatorı -sızıqlılıq qásiyetine iye boladı: yaǵnıy, , .
arqalı barlıq ti qa ótkeretuǵın -shegaralanǵan operatorlardıń kópligin belgileymiz. Hár bir ushın normanı kiritemiz. Belgili bolǵanınday, keńisligi banax -modul boladı.
Meyli keńisligi ústinde -bir tekli Gilbert-Kaplanskiy moduli bolıp, vektorlar kópligi keńisliginiń ortonormal bazisi bolsın. Qálegen elementin larda birden bir kóriniste jazıw múmkin, bunnan kelip shıǵadı. Meyli bizge elementleri den alınǵan matricalardıń kópligi berilgen bolsın. Meyli operatorı -sızıqlı operator bolıp, orınlı bolsın, yaǵnıy elementi algebrasınıń elementi boladı. Atap aytqanda, teńligi orınlanǵanlıqtan, operatorı shegaralanǵan operator boladı, yágnıy ekenligi kelip shıǵadı.
Kórinip turǵanınday, kópligi -moduli bolıp birden bir ámeli kiritilgen. Sonlıqtan, kópligi involuciyaǵa qarata *-algebra dúzedi. Bul jaǵdayda, kópligi *-algebra boladı. Meyli uyǵarayıq, bizge teńligi orınlı bolatuǵın sáwlelendiriwi berilgen bolsın, onda hám keńislikleri óz-ara *-izomorf boladı. Tap usı sıyaqlı, endomorfizmleriniń spektral qásiyetlerin úyrene otırıp, usıǵan teń kúshli tárizde matricalarınıń spektral qásiyetlerin úyrengen bolamız.
Meyli qálegen larda bolsın. bolǵanlıqtan, kelip shıǵadı. kompleks matricanıń bizge belgili bolǵan kerileniwshilik kriteriyası boyınsha keyingi nátiyjeni alamız
-teorema 2.9. Eger derlik barlıq jerde larda bolsa tek hám tek sonda ǵana matricası -*-algebrasında kerileniwshi boladı. Derlik barlıq jerde larda orınlı boladı.
Meyli keńisligi Banax moduli, operatorı bieksiya bolsın. Onda keri operator bar bolıp, orınlı boladı.
Eger elementi hám ushın keri operatorı bar bolsa, onda elementi operatorı ushın regulyar element delinedi. operatorınıń barlıq regulyar noqatlarınıń kópligi arqalı belgilenedi.
Meyli bolsın. Eger sonday element bar bolıp, barlıq larda orınlı bolsa, onda operatorına -kerileniwshi deymiz. ta anıqlanǵan operatorı bieksiya boladı. Eger elementi ushın operatorı qálegen nollik bolmaǵan larda -kerileniwshi bolmasa, onda operatorınıń spektral elementi delinedi. operatorınıń barlıq spektral elementleriniń kópligi ushın spektr delinedi. ekenin atap ótemiz, biraq ulıwma jaǵdayda, .
-tastıyqlaw 2.1. Qálegen ushın birden bir elementi bar bolıp hám orınlı boladı.
Dálillew. Eger bolsa, onda sonday tabıladı hám ol ushın -kerileniwshi boladı. Kórinip turǵanınday, operatorı qálegen ushın -kerileniwshi bolıp qaladı. Meyli - -kerileniwshi bolsın. Bull algebrasınıń sanaqlılıǵınan, elementin sonday etip saylay alamız, boladı, bul jerde hám -kerileniwshi. operatorı da bieksiya bolǵanlıqtan, -operatorı da da bieksiya boladı, yaǵnıy operatorı -kerileniwshi, hámde usı sebepli . idempotentiniń qurılısı boyınsha, mınaǵan iye bolamız, . ◻
Eger sonday nollik bolmaǵan bar bolıp, hám orınlı bolsa, onda elementi operatorınıń menshikli elementi delinedi, bul jerde kópligi tiń tasıwshısı. Bul jaǵdayda, vektorı ǵa qarata menshikli vektorı dep ataladı.
hám ekenin esapqa alsaq, onda qálegen ushın bieksiya bola bermeydi. Bul sonı ańlatadı, menshikli san barlıq waqıtta -spektr bolǵan kópligine tiyisli boladı.
Endi operatorı ushın -spektrin ústindegi bir tekli Gilbert-Kaplanskiy moduli jaǵdaında qayta jazamız. Biz -* algebranı -* algebrası menen, al, -modulin -ólshemli baǵanalardıń Gilbert-Kaplanskiy moduli menen anıqlaymız, bul jerde moduli ortonormal baziske iye.
Meyli bolsın. Onda orınlı boladı , bunnan kelip shıǵadı. (2.9) tastıyqlaw boyınsha, eger bolsa tek hám tek sonda ǵana operatorı de kerileniwshi boladı.
-tastıyqlaw 2.2. (i) Meyli bolsın. Onda sanı matricasınıń menshikli sanı boladı, bul jerde derlik barlıq jerde teń kúshli funksiya;
(ii) Eger hám sanı derlik barlıq jerde larda matricasınıń menshikli sanı bolsa, onda orınlı boladı.
Dálillew. (i). Meyli hám bolsın. matricası derlik barlıq jerde larda barlıq waqıtta kerileniwshi bola bermeydi. Sonlıqtan, derlik barlıq jerde larda orınlı boladı, yaǵnıy sanı derlik barlıq jerde ǵa qarata matricasınıń menshikli sanı boladı. (ii). Biz derlik barlıq jerde da ekenine iyemiz, yaǵnıy . Eger sonday teńsizligin qanaatlantırıwshı bar bolıp, derlik barlıq jerde da operatorı kerileniwshi bolsa, onda orınlı boladı, hám sonlıqtan , bul bolsa qarama-qarsılıq. Demek, . ◻
-tastıyqlaw 2.3. Eger hám bolsa, onda sonday bar bolıp, derlik barlıq jerde da hám orınlı boladı.
Dálillew. Meyli hám bolsın. Kórinip turǵanınday, lar hám da derlik barlıq jerde teń kúshli funksiya boladı, dara jaǵdayda, . Hár bir da shamasın fikserleymiz, hám tómendegi matricanı qaraymız:

Hár bir da sonday indeksler tabılıp, orınlı boladı. qatardan qatardı hám baǵanadan baǵananı saylap alıwdıń shekli sanınan artıq bolmaǵan usılı bar. Hár bir da qatar hám baǵanadan usıǵan sáykes túrde belgilewin kiritemiz. Meyli uyǵarayıq, bolsın. Kórinip turǵanınday, hám . Hár bir da di fikserleymiz, hám de hár bir da sızıqlı teńlemelerdiń bir tekli sistemasın qaraymız:

Barlıq larda bolsın dep uyǵarayıq. Onda, , bunnan tómendegi sandı anıqlaymız

bul jerde matricası matricasınan baǵanasın baǵanasına almastırıwdan alınadı. ([2]) boyınsha, funksiyası da ólshewli boladı. Bul kóz qarastan, da sonday ólshewli funksiyalardı tańlap alıw múmkin bolıp, derlik barlıq jerde da ([1]) di qanaatlandıradı, bunnan derlik barlıq jerde da orınlı bolatuǵını kelip shıǵadı.
Meyli uyǵarayıq, bolsın. Meyli bolsa bolsın. Hár bir fikserlengen ushın hám da ólshewli funksiyaların qaraymız. Kórinip turǵanınday, ushın tańlanbası ([1]) ushın sheshim boladı, sonlıqtan, orınlı boladı.
Bizge belgili, hám teńlikleri orınlı, onda da qaǵıydası menen ólshewli funksiyalardı anıqlaymız, bunda . Meyli uyǵarayıq, da hám bolsın. Kórinip turǵanınday, barlıq da hám orınlı boladı. ◻
Tómendegi teorema ushın ústinde -bir tekli Gilbert-Kaplanskiy moduli ushın -spektriniń haqqında túsinik beredi.
-teorema 2.10. Eger bolsa, onda hám barlıq elementler operatorınıń menshikli sanı boladı.
Dálillew. Meyli keńisligi tolıq bull algebrasına sáykes keliwshi bull mánisli fon-neyman universumı bolsın. arqalı modulindegi kompleks sanlar maydanın belgileyik. Bizge belgili, maydanınıń universumına qarata klassikalıq kóplikler toriyasına interpretaciya qılsaq, algebraǵa aylanadı. Sonlıqtan, kóshiriw principına kóre, teorema universumına qarata klassikalıq kóplikler toriyasındaǵı kompleks sanlar maydanı ushın orınlı boladı, bunnan tikkeley ushın da orınlanıwı kelip shıǵadı. Dara jaǵdayda, larda teńlemesi larda da sheshimge iye, yaǵnıy sonday bar bolıp, orınlanadı. Sonlıqtan, derlik barlıq jerde larda keri matricası bar bolmaydı ( 2.9 boyınsha). Bul boyınsha, kelip shıǵadı, bunnan, (2.3) tastıyqlawına kóre, sonday bar bolıp, hám orınlı boladı. Demek, -sanı operatorınıń menshikli sanı boladı. ◻
-teorema 2.11. Meyli ermit matricası bolsın. Onda sonday tabılıp, orınlanadı, bul jerde , hámde .
Funksiyalar algebralarınıń ústinde Shur teńsizligi
-shekli ólshemli Gilbert-Kaplanskiy moduliniń endomorfizmleriniń spektri
Meyli keńisligi -shekli ólshemli Gilbert-Kaplanskiy moduli bolsın. Bul jaǵdayda, qálegen -sızıqlı operatorı ushın na iye bolamız, dara jaǵdayda , hám bunnan kelip shıǵadı. Sol sebepli, barlıq larda orınlı boladı, onda , yaǵnıy -shekli ólshemli Gilbert-Kaplanskiy modulinda anıqlanǵan barlıq -sızıqlı operatorlar -shegaralanǵan bolıp esaplanadı.
-teorema 3.1. Meyli keńisligi -shekli ólshemli ústindegi Gilbert-Kaplanskiy moduli hám bolsın. Onda orınlı bolıp, hár bir sanı operatorınıń menshikli sanı boladı.
Dálillew. Meyli bóliniwi da birlik bóliniw bolıp, keńisligi ústinde -bir tekli ( ) Gilbert-Kaplanskiy moduli bolsın . Onda orınlı boladı, onda (2.10) teorema boyınsha sonday tabılıp, bazı bir da orınlanadı. ekenliginen ekenligine iye bolamız hám larda orınlı boladı, dara jaǵdayda, (qatar da -jıynaqlı). Tap usı sıyaqlı, teńligin paydalanıp, orınlı bolatuǵınday etip ni tańlap alıw múmkin.
Meyli uyǵarayıq, bolsın. Eger bolsa, onda na iye bolamız. Bunnan, da orınlı boladı, sonlıqtan, sonday bar bolıp, orınlı boladı, yaǵnıy . Bunnan, kelip shıǵadı. da ekenliginen

kelip shıǵadı. Sol sebepli, sanı operatorınıń menshikli sanı boladı, dara jaǵdayda, , yaǵnıy
Endi biz element operatorınıń menshikli sanı bolatuǵının kórsetemiz. operatorı qálegen nollik bolmaǵan ushın bieksiya bolmaǵanlıqtan ekenligi kelip shıǵadı. (2.10) teorema boyınsha elementi barlıq larda operatorınıń menshikli sanı boladı. Sonlıqtan, operatorınıń sonday menshikli vektorı tabılıp, sáykes menshikli sanları ge teń boladı, yaǵnıy barlıq larda hám . element ushın, na iye bolamız. Bunnan kelip shıǵadı. Demek, sanı operatorınıń menshikli sanı bolıp esaplanadı. ◻
Meyli, bolsın. Eger sonday shekli bóliniwi bar bolıp, keńisligi ústinde -bir tekli Gilbert-Kaplanskiy moduli bolsa, onda ústindegi Gilbert-Kaplanskiy moduli shekli ólshemli delinedi.
-tastıyqlaw 3.1. ústindegi Gilbert-Kaplanskiy moduli ushın tómendegi tastıyqlawlar ekvivalent:
(i) -shekli ólshemli;
(ii) -shekli dóretilgen, yaǵnıy sonday shekli elementlerdiń tańlanbası bar bolıp, ;
(iii) Sonday natural sanı bar bolıp, qálegen nollik bolmaǵan da keńisligindegi qálegen -sızıqlı ǵarezsiz sistema danadan artıq bolmaǵan elementti óz ishine aladı;
Dálillew. . Meyli bóliniwi sonday birlik bóliniw bolıp, keńisligi ústinde -bir tekli Gilbert-Kaplanskiy moduli hám bolsın. keńisliginde bazisin tańlap alamız hám

bolsın dep uyǵaramız.
Eger bolsa, onda lar ushın orınlı boladı. Sonlıqtan kópligi keńisliginiń bazisi bolıp, orınlı boladı, bul jerde . Demek, orınlı.
. Eger hám -sisteması keńisliginde sızıqlı ǵarezsiz -sistema bolsa, onda ekenine iye bolamız.
. (2.7) teoremasın esapqa alsaq, sonday sanaqlı birlik bóliniw bar bolıp, kópligi barlıq larda ústinde -bir tekli Gilbert-Kaplanskiy moduli boladı. Eger bolsa, onda keńisligi bazisti óz ishine aladı, bul bazis -sızıqlı ǵarezsiz elementlerden ibarat bolıp, olardıń sanı nen artıq boladı, bul bolsa shártke qarsı keledi. Solay etip, barlıq larda eken. natural sanı ushın bolsın dep uyǵarayıq. Eger bolsa, onda bunday sanı qarastırılmaydı. hám lar ushın idempotentlerdiń tańlanbasına iye bolamız. Kórinip turǵanınday, ústindegi Gilbert-Kaplanskiy moduli -bir tekli boladı, sonlıqtan ol ózinde bazisti tutadı, bul bazis elementlerden ibarat boladı. Demek, Gilbert-Kaplanskiy moduli shekli ólshemli boladı eken. ◻
(3.1) degi implikaciyasın qollana otırıp tómendegige iye bolamız
-saldar 3.1. Barlıq Gilbert-Kaplanskiy moduliniń tuyıq -úles modulleri shekli ólshemli boladı.
(3.1) teoremanıń dálilleniwin qaytalay otırıp, tómendegige iye bolamız.
-teorema 3.2. Meyli keńisligi ústindegi Gilbert-Kaplanskiy moduli hám operatorı berilgen bolsın. Onda spektri bos bolmaydı hám qálegen sanı operatorınıń menshikli sanı boladı.
I tip Fon Neyman algebrasında anıqlanǵan ólshewli operatorlar algebrasınıń differenciallawlarınıń strukturası
Meyli fon neyman algebrası berilgen bolsın. hám arqalı sáykes túrde de anıqlanǵan barlıq ólshewli hám lokal ólshewlı operatorlardıń algebraların belgileymiz. ge tiyisli barlıq -ólshewli operatorlardıń algebrasın arqalı belgileymiz. Biz algebrası I tip fon neyman algebrası bolǵan jaǵdayda joqarıdaǵı algebralardıń barlıq differenciallawlarınıń xarakteristikasın keltiremiz. Dara jaǵdayda biz, eger algebrası tiptegi algebra bolsa, onda (sáykes túrde hám ) degi barlıq differenciallaw ishki differenciallaw bolıwın kórsetemiz.
Meyli algebrası kompleks sanlar ústindegi algebra bolsın. Eger sızıqlı operatorı barlıq larda (Leybnic qaǵıydası) birdeyligin qanaatlandırsa, onda ol differenciallaw delinedi. Hár bir elementi differenciallawın anıqlaydı. Usı tárizde anıqlanǵan differenciallaw ishki differenciallaw delinedi.
Eger differenciallawın anıqlaytúǵın elementi algebrasın óz ishine alıwshı (trivial bolmaǵan ideal sıpatında) algebrasına tiyisli bolsa, onda differenciallawına keńislik differenciallawı deymiz.
Dara jaǵdayda, eger kommutativ bolsa, onda ishki differenciallaw nolge teń boladı. Differenciallawdıń keńislik differenciallawı yamasa ishki differenciallaw bolıwı (dara jaǵdayda, kommutativ algebralardaǵı differenciallawlar) differenciallaw teoriyasınıń tiykarǵı máseleleri bolıp esaplanadı.
intervalda anıqlanǵan barlıq kompleks ólshewlı funksiyalardıń algebrası trivial bolmaǵan differenciallawlardı óz ishine aladı.
Meyli algebrası I tip fon neyman algebrası bolsa, onda fon neyman algebrasınıń ( -sızıqlı bolǵan algebra) orayında nol bolatuǵın hám da anıqlanǵan hár bir differenciallawı ishki differenciallaw boladı, yaǵnıy da orınlı boladı.
Meyli kommutativ algebra hám algebrası ústindegi matricalaranıń algebrası bolıp esaplanadı. Eger , lar daǵı unit matricalar bolsa, onda hár bir element tómendegi formaǵa iye boladı

. Meyli differenciallawı berilgen bolsın.

arqalı biz sızıqlı operatorın alamız. Sonday-aq, operatorı algebrasında differenciallaw boladı hám algebrasınıń orayına shekleniwi ǵa baylanıslı boladı.
Meyli kompleks Gilbert keńisligi hám algebrası ta anıqlanǵan barlıq sızıqlı shegaralanǵan operatorlardıń algebrası bolsın. Meyli uyǵarayıq, algebrası operator norması menen berilgen bolsın. degi proektorlardıń rechetkasın arqalı belgileymiz.
Meyli bolsın. Eger fon neyman algebrasındaǵı

kommutanttan hár bir unitar da bolsa, onda ǵa ǵa baylanǵan delinedi hám kórinisinde belgilenedi.
Meyli taǵı operatorınıń anıqlanıw oblastı bolsın. Eger barlıq larda hám bolsa, onda operatorı ǵa baylanǵan delinedi hám arqalı belgilenedi.
Meyli sızıqlı keńislik berilgen, fon neyman algebrası hám onıń birlik elementi bolsın. Eger (1) ; (2) barlıq lerde hám lar da shegaralanǵan bolatuǵın proektorlar izbe-izligi tabıladı; shártleri orınlı bolsa, onda úles keńisligi da kúshli tıǵız delinedi.
Meyli sızıqlı operatorı bolsın. Eger hám lar ta kúshli tıǵız bolsa, onda operatorı ólshewli delinedi. Eger operatorı tuyıq bolıp, hám barlıq lerde degi oraylıq proektorlardıń izbe-izligi bar bolsa , onda operatorı lokal ólshewli delinedi.
Eger kópliginde kúshli qosıw hám kóbeytiw algebralıq ámelleri, operatordıń túyinlesi anıqlanǵan bolsa, onda ol *-unital algebra boladı.
Meyli de durıs yarım-shegaralanǵan izi berilgen bolsın. Berilgen sızıqlı operatorı ushın hám lar da tıǵız bolsa, yaǵnıy hám berilgen ushın hám orınlı bolatuǵın proektorı bar bolsa, onda bul operatorı -ólshewli delinedi.
-ólshewli operatorlardıń kópligi de qozǵalmas *-úles algebra boladı.
Consider the topology of convergence in measure or measure topology on , which is defined by the following neighborhoods of zero:

where are positive numbers.
Bizge belgili , eger da ólshewli topologiya bar bolsa, onda ol tolıq metrikalıq *-algebra boladı.
Eger izi shekli bolsa, onda

.
Tómendegi tastıyqlaw algebrasınıń eń áhimiyetli qásiyetin túsindiredi.
-tastıyqlaw 3.2. Meyli indeksler kópligi , fon neyman algebrası algebralarınıń -kóbeymesi bolsın, yaǵnıy , bul jerde norması -norma. Onda algebrası algebrasına -izomorf boladı(koordinata boyınsha ámellerge hám involuciyaǵa qarata),yaǵnıy . Dara jaǵdayda, eger shekli ólshemli bolsa, onda .
, algebralarında usıǵan uqsas izomorfizmler orınlı emes.
(3.2)-tastıyqlawınan berilgen shárti menen degi ortogonal oraylıq proektorlardıń shańaraǵı hám degi elementler sisteması ushın birden bir elementi tabılıp , barlıq larda bolıwı kelip shıǵadı. Bul element arqalı belgilenedi.
Meyli kommutativ fon neyman algebrası , bolsa ólshewli keńisliginde anıqlanǵan barlıq kompleks shegaralanǵan ólshewli funksiyalardıń algebrası bolsın. Onda algebrası algebrasına -izomorf boladı. Eger da anıqlanǵan barlıq kompleks ólshewli funksiyalardıń algebrasın sıyaqlı belgilesek, onda orınlı boladı.
algebrası kanonik oraylıq mánisli izdi óz ishine aladı. Meyli kópligi nıń barlıq unitar elementleriniń kópligi kópligi nıń norma tuyıqlanıwı bolsın, onda orınlı boladı. Sonlıqtan, berilgen shekli izi barlıq larda birdeyligin qanaatlandıradı.
de berilgen normal yarım-shekli izi ushın de sonday monoton ósiwshi proektorı bar bolıp, hám orınlı boladı. izi barlıq larda shekli bolǵanlıqtan barlıq larda birdeyligine iye bolamız. Qálegen proektorı ushın sonday nollik bolmaǵan proektorı bar bolıp, hám orınlı boladı. Uyǵarayıq, bolsın. nıń qásiyetine muwapıq elementi de nollik bolmaǵan oń element boladı hám hám teńsizliklerin qanaatlandıradı. Spektral teorema boyınsha sonday nollik bolmaǵan proektorı bar bolıp, orınlı boladı. Bunnan, hám ekenligi kelip shıǵadı, yaǵnıy hám bunnan dıń ke shekleniwi de yarım-shekli boladı.
-tastıyqlaw 3.3. Meyli kópligi I tip shekli fon neyman algebrası, onıń orayı hám normal yarım-shekli iz bolsın, onda hám orınlanadı, bul jerde tiń ke shekleniwi arqalı belgilengen.
Dálillew. Berilgen ushın barlıq lerde orınlı bolatuǵın ortogonal proektorlardıń izbe-izligin alamız. shekli ekenliginen ekenine hám bunnan ekenine iye bolamız, yaǵnıy .
Kerisinshe , hám spektral rezoluciya bolsın. Meyli hám bolsın. Onda ortogonal oraylıq proektorlardıń sisteması bolıp, orınlı boladı. Barlıq larda ekenligi kórinip tur. Sonlıqtan , bunnan . Usıǵan uqsas alınadı. Teorema dálilendi. ◻
Eger algebrası tiptegi algebrası bolıp, nollik bolmaǵan shekli oraylıq proektorlarǵa iye bolmasa, onda ol tiptegi algebra delinedi.
-tastıyqlaw 3.4. Meyli algebrası orayǵa iye tiptegi fon neyman algebrası bolsın. Onda hám algebralarınıń orayları penen ústpe-úst túsedi.
Dálillew. Meyli uyǵarayıq oraylıq element hám onıń spektral rezoluciyası bolsın. Onda barlıq larda . Meyli uyǵarayıq barlıq larda bolsın. kópligi tipte ekenliginen nollik bolmaǵan shekli proektordı óz ishine ala almaydı. Demek, barlıq lerde shekli, bul bolsa shárttine qarama-qarsı. Sonlıqtan sonday bar bolıp, barlıq lerde orınlanadı, yaǵnıy . Usıǵan uqsas . Teorema dálilendi. ◻
Meyli algebrası orayǵa iye tipindegi fon neyman algebrası bolsın. Onda algebrası ústindegi matricalardıń algebrasına -izomorf boladı.
Bul jaǵdayda hám algebraları tómendegishe xarakteristikalanıwı múmkin.
-tastıyqlaw 3.5. Meyli algebrası tiptegi, normal yarım-shekli izine qarata fon neyman algebrası bolsın. Meyli algebrasınıń orayın arqalı belgileyik. Onda orınlı boladı.
Dálillew. Meyli de matricalıq unitlar berilgen bolsın.

kópligi arqalı dóretilgen niń -úles algebrasın qaraymız. Bul -úles algebrası

formasındaǵı elementlerden quralǵan bolıp, ge -izomorf boladı. algebrası da -tıǵız bolǵanlıqtan úles algebrasınıń da topologiyasına baylanıslı tuyıq ekenligi kelip shıǵadı. orayı da -tuyıq boladı hám sonlıqtan

úles algebrasıda da -tuyıq boladı.
nen alınǵan hám topologiyasında orınlı bolatuǵın izbe-izligin qaraymız. lerdi fikserlegenhalda biz ge iye bolamız. ekenliginen kelip shıǵadı. de niń -tuyıqlanıwshańlıǵı ǵa muwapıq tómendegini keltirip shıǵaradı

() ni shep tárepten ge, oń tárepten ge kóbeytiw arqalı na iye bolamız. Sonlıqtan, orınlı boladı hám bunnan . Bul bolsa ekenligin keltirip shıǵaradı. Teorema dálilendi. ◻
-teorema 3.3. Meyli ermit matricası bolsın. Onda sonday tabılıp , teńsizligi larda orınlanadı, al de teńlik orınlı boladı.
Dálillew. 2.2.3-teorema boyınsha, sanları matricasınıń menshikli sanları boladı. 1.4.4-teorema boyınsha

orınlanadı, bul jerde . Bunnan [eq:rrr] kelip shıǵadı. ◻