Fani bo’yicha o’quv-uslubiy majmua

Teorema. Agar funktsiya o’lchovli E to’plamda o’lchovli va chegaralanmagan bo’lsa, u xolda uning Lebeg integrali mavjuddir.
Isbot. Chegaralangan va o’lchovli funktsiyani olib, uning uchun s va S yig’indilarning umumiy limitga ega ekanligini ko’rsatamiz. Bu funktsiya chegaralangani uchun uning aniq quyi va aniq yuqori chegaralari mavjud; ular mos ravishda A va B bo’lsin. segmentni ikki usul bilan quyidagicha n va n qismlarga bo’lamiz:


Agar

belgilashlarni kiritsak, u xolda bo’linish nuqtalari uchun ushbu

tengsizliklarbajariladi.Bu tengsizliklardan
quyidagimunosabatlar kelib chiqadi.
Bu erda s' va S' sonlar (2) bo’linishi uchun tuzilgan quyi va yuqori yig’indilar . Endi (1) va (2) bo’linish nuqtalarini , ya’ni nuqtalarning xammasini bo’luvchi nuqtalarsifatida olamiz vategishli s’’ va S'' yigindilarni tuzamiz . Buning natijasida s va s' yigindilar kamaymaydi,S va S' yigindilari esa ortmaydi, ya’ni
(3)
Tengsizliklar o’rinli bo’ladi. Darxaqiqat, agar oraliqni birorta yangi nuqta yordami bilan oraliqlarga bo’lsak, u xolda ushbu

tengsizlik bajariladi.Bundan ko’rinadiki, s s’’,ya’ni qo’shimcha bo’linish nuqtalari kiritilishi natijasida quyi yigindi kamaymaydi. Shunga o’xshash ushbu

tengsizlilarni xam yozishimiz mumkin ; bundan ko’rinadiki, yangi nuqtani kiritish natijasida S yigindining tegishli xadi ortmas ekan, S yiuindining uzi xam ortmaydi. (3) munosabatlardan ko’rinadiki (s,S) va (s',S')oraliqlar(s'',S'')oraliqdan iborat umumiy qismga ega ekan. Demak,s,s'',S va S' sonlarning xammasi uzunligi dan katta bo’lmagan oraliqda joylashgandir. ni istalgancha kichik qilish mumkinligidan va matematik analizdagi umumiy yaqinlashishi printsipiga muvofiq s,S yigindilarning umumiy limitga ega ekanligi kelib chiqadi.
Demak, yuqorida berilgan tarifgamuvofiq xar qanday
chegaralangan o’lchovli funktsiya uchun Lebeg integrali doimo mavjud.
Lebeg integralining ko’pgina xossalari Riman integral xossasi kabidir
Muxokama uchun savolar:

1. 
   Integral yig’indilar qanday tuziladi?
   
2. 
   Lebeg integrali deb nimaga aytiladi?
   
3. 
   O’rta qiymat haqidagi teorema.
   
4. 
   Lebeg integralining asosiy xossalari.
   

2- savol bo’yicha dars maqsadi:

1. Lebeg integrali ostida limitga o’tishni o’rganish.
Identiv o’quv maqsadi:
1. Integral ostida limitga o’tish moxiyatini o’rgana oladi.
2. Integral ostida limitga o’tish shartini tushina oladi.