Аналитическая геометрия на плоскости

5.2.1. Уравнение эллипса
Пусть М – любая точка плоскости, и - заданные точки (фокусы).

Определение эллипса выражается формулой . Обозначим расстояние как фокусное расстояние. Тогда из трепугольника получим , откуда .
Выведем уравнение эллипса. Для начала рассмотрим систему координат Оху.

Во введенной системе координат фокусы расположены на оси Ох и имеют координаты и . Пусть точка М(х,у) принадлежит эллипсу.
Тогда :

Перенеся первый радикал из левой части в правую и возведя в квадрат, имеем

или

Приводя подобные члены, получим, что . Затем (после деления на 4) снова возведем в квадрат:
.
Последнее уравнение можно упростить, если раскрыть скобки и привести подобные члены:
,

Поскольку из определения эллипса следует, что , то число и можно обозначить . Тогда уравнение запишется: или .
Разделив это уравнение на , получим
, где .
Такое уравнение эллипса называется каноническим.
5.2.2. Форма эллипса
Исследуем форму эллипса. Если в уравнении эллипса заменить х на , то оно не изменится. Это означает, что если точка М(х,у) принадлежит кривой, то точка также принадлежит этой кривой, т.е. кривая симметрична относительно оси ординат. Эллипс симметричен и относительно оси абсцисс, потому что его уравнение не меняется при замене у на .
Таким образом, эллипс симметричен относительно точки О – центра эллипса. Учитывая это, достаточно изучить форму эллипса только в первой четверти, т.е. для .
При из канонического уравнения можно получить уравнение кривой в явном виде, т.е. . Из этого уравнения ясно, что кривая проходит через точки, и . Эти точки называются вершинами эллипса.
Из явного уравнения эллипса ясно, что ордината у при непрерывном возрастании х на отрезке [0;a] монотонно убывает. Построим по явному уравнению часть эллипса в первой четверти. В остальных четвертях кривая строится с учетом симметрии относительно координатных осей.

Числа а и b называются полуосями эллипса. При этом а называется большой полуосью, а b – малой полуосью эллипса.
При эллипс представляет собой окружность .