Аналитическая геометрия на плоскости

Практическая часть 2
Расчет треугольника на плоскости
Пример 1. В треугольнике с вершинами О(0;0), А(3;3), В(-1; 5) найти уравнение стороны АВ, медианы АЕ, высоты ОК, а также длину высоты ОК.
Решение:

.
Далее, по определению медианы треугольника точка Е – середина отрезка ВО, поэтому ее коордлинаты равны:
.
: уравнение прямой, проходящей через точки А(3;3) и ;

Итак, уравнение медианы АЕ имеет вид .
Далее высота ОК – эта прямая, проходящая через вершину О перпендикулярно прямой АВ.
Угловой коэффициент k₁ прямой АВ находим из уравнения :
.
Тогда , и уравнение высоты ОК .
Теперь найдем координаты К – точки пересечения построенной высоты и прямой АВ. Решаем систему уравнений:

Итак,
Длина высоты ОК:
.
Пример 2. В треугольнике с вершинами А(2;-1), В(-7;3), С(-1;-5), найди уравнение биссектрисы угла С.
Решение: Найдем точку пересечения М биссектрисы угла С со стороной АВ.
Известно, что биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные длинами прилежащих сторон треугольника.
Следовательно, .
По условию задачи , и координаты точки М:


Уравнение биссектрисы СМ запишем как уравнение прямой, проходящей через две точки:

или

следовательно, - уравнение биссектрисы.

Очевидно, что биссектриса параллельная оси OY, т.е. абсциссы точек С и М совпадают.
Пример 3. Даны координаты трех точек А(4;4), В(6;3), С (3;6):

1. 
   Проверить, не лежат ли точки на одной прямой, составить уравнение прямой АВ;
   
2. 
   Уравнение высоты СК треугольника АВС;
   
3. 
   Уравнение медианы AD треугольника АВС;
   
4. 
   Координаты точки пересечения выосты СК и медианы AD;
   
5. 
   Угол между медианой AD и высотой АС;
   
6. 
   Площадь треугольника АВС;
   
7. 
   Внутренние углы треугольника АВС.