Введем новую переменную с помощью формулы

Теорема 1 Пусть и выполнены условия (22), (27) и (28). Тогда в области существует единственное классическое решение задачи (13-16).
ИССЛЕДОВАНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ. ВЫВОД ЭКВИВАЛЕНТНОЙ СИСТЕМЫ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим произвольную точку и проведем через нее характеристику (17) до пересечения с боковыми границами области . Интегрируя ю компоненту уравнения (23), используя данные (26), находим

(29)

где
С учётом начальных условий (24) перепишем уравнения (29) в виде
(30)

Продифференцируем уравнения по переменный . Тогда имеем


()

(31)

Далее в уравнениях (31) заменим на , и получим следующие равенства

(32)



(33)



Запишем равенства (32)-(33) в следующем компактном виде
(34)



Здесь

Введем следующее обозначениe:

(35)
Учитывая (35), запишем уравнения (25) в следующем виде:

(36)

Также пользуясь (35) систему (34), перепишем в виде:
(37)

где определены формулами

а также введены обозначения

Введем следующее обозначение:

(1)

где









Учитывая (1), перепишем уравнения (?), (?) в следующем виде:

(2)

Также пользуясь (1) систему (?)-(?) перепишем в виде:

(3)

здесь

Пусть вектор-функция, составленной из производных неизвестных функций обратной задачи, где элементы этого вектор-функция. В дальнейшем будем предполагать, что выполнено условие

(4)

что равносильно неравенствам
Решая теперь систему (3) относительно получим

(5)

где алгебраические дополнения элементов матрицы
В уравнения (5) входят неизвестные функции Для них мы получим интегральные уравнения из (2) с помощью дифференцирования их по переменной . При этом имеем

(6)

где

Требуем выполнение условий согласования

(7)

(8)

1. ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ И ЕГО ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Основным результатом настоящей работы является следующее утверждение:
2 Пусть выполнены условия теоремы 1, кроме того и выполнены условие (4), условия согласования (?), (?), (?), (7),(8). Тогда для любого на отрезке существует единственное решение обратной задачи (?)-(?), (?) из класса и каждая компонента определяется заданием для а для
Уравнения (2),(5) и (6), дополненные начальными и граничными условиями из равенств (?)-(?) образует замкнутую систему уравнений относительно неизвестных , Рассмотрим теперь квадрат

Уравнения (?),(?) и (?) показывают, что значения функций при выражаются через интегралы от некоторых комбинаций этих же функций по отрезкам, лежащим в .
Запишем уравнения (?),(?) и (?) в виде замкнутой системы интегральных уравнений вольтеровского типа второго рода. Для этого введем в рассмотрение вектор-функция задав их компоненты равенствами

Тогда система уравнений (?),(?) и (?) принимает операторную форму

(1)

где оператор в соответствии с правыми частями уравнений (?),(?) и (?) определен равенствами

(2)

(3)

(4)

где
В этих формулах введены обозначения



Определим на множестве непрерывных функций норму

некоторое число, которое будет выбрано позже. Очевидно, что при это пространство совпадает с пространством непрерывных функций с обычной нормой В силу неравенства

нормы и эквивалентны для любого фиксированного
Далее рассмотрим множество функций удовлетворяющих неравенству

(5)

где вектор-функция определена свободными членами операторного уравнения (1). Нетрудно заметить, что для имеет место оценка Таким образом, -известное число.
Введем следующие обозначения:





Оператор переводит пространство в себя. Покажем, что при подходящем выборе (заметим, что -произвольное фиксированное число) он является на множестве оператором сжатия. Убедимся вначале в том, что оператор переводит множество в себя, т.е. из условия следует, что если удовлетворяет некоторым ограничениям. В самом деле, для любых и любого выполняются неравенства:




Аналогично получим следующие оценки


Отсюда и из формул (1) и (2)-(4) следует, что


где Выбирая получим, что оператор переводит множество в себя.
Возьмем теперь любые функции и оценим норму разности . Используя, очевидное неравенство

и оценки для интегралов, аналогичные приведенным выше, получим













Аналогично получим следующие оценки



Отсюда имеем



где Выбирая теперь получим, что оператор сжимает расстояние между элементами на
Как следует из проделанных оценок, если число выбрано из условия то оператор является сжимающим на В этом случае согласно принципу Банаха [40, стр. 87–97] уравнение (1) имеет единственное решение в для любого фиксированного . Теорема 2 доказана.
По найденным функциям функции находятся по формулам