Voronej davlat texnik universiteti

1 . BROYDEN ALGORITMI.

1.1 Broyden algoritmiga kirish

Broyden algoritmi uchun kirish ma'lumotlari boshlang'ich yechim vektori, boshlang'ich Yakobi matritsasi va belgilangan aniqlikdir.

1.2 Broyden algoritmining mazmuni

Boshlang'ich vektorli tenglamalar tizimini yechish zarur bo'lsin . Broyden usulini qo'llashda asosiy qiyinchilik Yakobiy matritsasining dastlabki yaqinlashuvini tanlashdir. Amalda, iteratsiya jarayonining yaxshi boshlanishini ta'minlash uchun hosilalarning chekli farqli yaqinlashuvi faqat bir marta qo'llaniladi va keyingi bosqichlarda matritsa Broyden usuli bilan yaqinlashadi.

Dastlabki vektor uchun Yakobiy matritsasi hosilalarning chekli farqli yaqinlashuvi asosida hosil bo'ladi va Nyuton usuliga o'xshab, keyingi yaqinlashish vektori tenglamalar tizimining yechimidan topiladi. . Qidiruvning keyingi bosqichlarida Yakobi matritsasi Broyden qayta hisoblash formulasi yordamida hisoblanadi.


,

qayerda . Va yechim topishning butun jarayoni ma'lum bir aniqlikdagi yechim olinmaguncha bir xil sxema bo'yicha takrorlanadi [1].

Chiziqli tenglamani yechish zarur bo'lganligi sababli, biz Gauss yechim usulini ko'rib chiqamiz.
1.3 SLAE eritmasi uchun Gauss yo'q qilish usuli

Barcha yo'q qilish usullarining mohiyati tenglamalarning dastlabki tizimini oddiyroq shakldagi tizimga qisqartirishdir, buning uchun yechim topish oson. Bu usullarga Gauss yo'q qilish usuli kiradi, u ko'plab hisoblash sxemalariga ega va tadqiqotlar ko'rsatganidek, SLAE ni hal qilish uchun ideal algoritmdir.

Avval eng oddiy sxemani ko'rib chiqing - bitta bo'linma sxemasi. Biz 4-tartibli SLAE misolidan foydalanib, bitta bo'linish sxemasidan foydalanishni ko'rsatamiz.




Tizimning birinchi tenglamasini ga bo'lib , hosil qilamiz

Birinchi tenglamani tizimning ikkinchi tenglamasidan at koeffitsientiga , ya'ni ga ko'paytiring . Natijada biz quyidagilarni olamiz:

=


Tizimning uchinchi va keyingi tenglamalari bilan bir xil tarzda harakat qilib, biz olamiz
;
;

.
Xuddi shu algoritm tanlangan tizimga asl tizimga nisbatan qo'llaniladi. Natijada, biz olamiz




Gauss usulining bevosita kursi tugadi. Olingan uchburchakli chiziqli algebraik tenglamalar tizimidan Gauss tomonidan teskari yo‘nalish bo‘yicha quyidagi formulalar yordamida yechim vektorini topamiz.


, , .