Viii bob. Integral hisob

I. (1) xosmas integral yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligini aniqlash;
II. (1) xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘lgan holda uning qiymatini topish.
Misol sifatida ushbu I tur xosmas integralni qaraymiz:
(3)
Bu integralni uch holda tahlil etamiz.

1. 
   Dastlab α>1 holni qaraymiz. Bu holda xosmas integral ta’rifi va Nyuton – Leybnits formulasiga asosan quyidagi natijani olamiz:
   

Demak, bu holda qaralayotgan (3) xosmas integral yaqinlashuvchi va uning qiymati a^1–α /( α–1) bo‘ladi.

2. 
   Endi α=1 holni tahlil etamiz:
   

.
Demak, bu holda (3) xosmas integral uzoqlashuvchi.

3. 
   α<1, ya’ni 1–α>0 holni ko‘rib chiqamiz:
   

.
Demak, bu holda ham (3) xosmas integral uzoqlashuvchi ekan.
Shunday qilib, (3) xosmas integral α>1 holda yaqinlashuvchi, aks holda, ya’ni α≤1 bo‘lganda uzoqlashuvchi bo‘ladi. Bu natijaning geometrik ma’nosi shundan iboratki, tekislikdagi

chiziqlar bilan chegaralangan yarim cheksiz geometrik shakllar α>1 holda qiymati S=a^1–α /( α–1) bo‘l gan chekli yuzaga ega (83-rasmga qarang).



a

83-rasm

Aksincha, α≤1 bo‘lganda esa bu geometrik shakllar cheksiz yuzaga ega bo‘ladi.

Ko‘p hollarda (1) xosmas integralning aniq qiymatini bilish shart bo‘lmasdan, uning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligini va, yaqinlashuvchi bo‘lgan holda, qiymatini baholash yetarlidir. Bunday hollarda quyidagi teoremalardan foydalaniladi.
1-TEOREMA: Agar a≤x<∞ cheksiz yarim oraliqda 0≤f(x)≤g(x) va xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, unda xosmas integral ham yaqinlashuvchi va quyidagi tengsizlik o‘rinli bo‘ladi:

Isbot: Teorema sharti va aniq integral xossasiga asosan [§5, (17)], ixtiyoriy a<b<+∞ uchun

tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Bunda F '(b)=f(b)≥0 bo‘lgani uchun F(b) monoton kamaymovchi funksiyadir. Ikkinchi tomondan barcha b≥a uchun F(b)≤G<∞, ya’ni chegaralangan funksiyadir. Bulardan b→+∞ bo‘lganda F(b) chekli limitga ega bo‘lishi kelib chiqadi. Bu yerdan, 1-ta’rifga asosan,
,
ya’ni teorema tasdig‘i o‘rinli ekanligi kelib chiqadi.
Misol sifatida ushbu xosmas integralni qaraymiz:
.
Bunda integral ostidagi f(x) funksiya

shartni qanoatlantiradi va
.
Demak, 1-teoremaga asosan, berilgan I xosmas integral yaqinlashuvchi va uning qiymati I≤1/4 bo‘ladi.
2-TEOREMA: Agar a≤x<∞ cheksiz yarim oraliqda 0 ≤ g(x) ≤ f(x) va
xosmas integral uzoqlashuvchi bo‘lsa, unda xosmas integral ham uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Bu teoremaning isboti 1-teorema isboti singari amalga oshiriladi va o‘quvchiga mustaqil ish sifatida havola etiladi.
Masalan, xosmas integral uzoqlashuvchi ekanligini ko‘rsatamiz. Haqiqatan ham, x≥1 bo‘lganda, integral ostidagi funksiya

shartni qanoatlantiradi va
.
Bu yerdan, 2-tеorеmaga asosan, berilgan I integral uzoqlashuvchi ekanligi kelib chiqadi.
Agar xosmas integral ostidagi f(x) funksiya turli ishorali qiymatlarni qabul etsa, unda quyidagi teoremadan foydalanish mumkin.
3-TEOREMA: Agar x≥a bo‘lganda |f(x)|≤g(x) va xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, unda xosmas integral ham yaqinlashuvchi va
(4)
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
Bu teoremani isbotsiz qabul etamiz.
Masalan, ixtiyoriy λ haqiqiy soni uchun
(5)
xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘ladi, chunki
.
3-TA’RIF: Agar xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, unda xosmas integral absolut yaqinlashuvchi deyiladi. Agar I yaqinlashuvchi, J esa uzoqlashuvchi bo‘lsa, unda I xosmas integral shartli yaqinlashuvchi deb ataladi.
Masalan, (5) xosmas integral α>1 holda absolut yaqinlashuvchi, 0<α≤1 holda esa shartli yaqinlashuvchi ekanligini ko‘rsatish mumkin.
Yuqoridagi (4) tengsizlikdan absolut yaqinlashuvchi xosmas integral yaqinlashuvchi ekanligi kelib chiqadi.
Agar y=f(x) funksiya (–∞, b] cheksiz yarim oraliqda aniqlangan bo‘lsa, uning bu soha bo‘yicha I tur xosmas integrali yuqoridagi (2) tenglikka o‘xshash tarzda quyidagicha aniqlanadi:
. (6)
Bu xosmas integral uchun ham uning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligi 2-ta’rif asosida aniqlanadi.
Masalan, har qanday chekli b va λ>0 sonlari uchun xosmas integral yaqinlashuvchi, chunki
.
Agar y=f(x) funksiya cheksiz (–∞,∞) oraliqda aniqlangan bo‘lsa, uning bu oraliq bo‘yicha I tur xosmas integrali yuqorida kiritilgan xosmas integrallar orqali
(7)
tenglik bilan aniqlanadi. Bunda c – ixtiyoriy chekli son, jumladan 0 bo‘lishi mumkin.
4-TA’RIF: Agar (7) tenglikning o‘ng tomonidagi ikkala xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, unda tenglikning chap tomonidagi xosmas integral ham yaqinlashuvchi deyiladi. Agar o‘ng tomondagi xosmas integrallardan kamida bittasi uzoqlashuvchi bo‘lsa, unda chap tomondagi xosmas integral uzoqlashuvchi deb ataladi.
Masalan,

,
ya’ni J xosmas integral yaqinlashuvchi ekan. Demak, y=1/(1+x²) , , va y=0 chiziqlar bilan chegaralangan cheksiz geometrik shakl (84-rasmga qarang) chekli va π soniga teng yuzaga ega bo‘ladi.



84-rasm

2.