Vi-zonaga mos nuqtalarda esa tebranish yo’q chunki bular orqali ikkala to’lqinning ham orqa frontlari o’tib ketgan

Chegaralangan tor. Uzunligi l ga teng va ikki cheti mustahkamlangan torni tekshiramiz. Bunday torning tebranishi to’grisidagi masala (1) tenglamaning (4) boshlang’ich shartlardan tashqari

u| |

chegaraviy shartlarrni qanoatlantiruvchi echimni topishga keladi. Bu holda, ravshanki, φ(x) va funksiyalar faqat 0 ≤ x ≤ l oraliqda berilgan. Bu masalani echishda ham (3) Dalamber echimidan foydalanish mumkin , ammo berilgan φ(x) va funksiyalar faqat 0 ≤ x ≤ l oraliqda aniqlangan bo’lgani uchun bu funksiyalar ham shu orqali topilgan (x) va (x) funksiyalar ham shu oraliqda aniqlangan bo’ladi.

Demak, (3) formuladan foydalanish mumkin bo’lishi uchun (x) va (x) funksiyalarni yoki to’la ekvivalent bo’lgani sababli φ(x) va funksiyalarni (0,l) oraliqdan tashqariga davom ettirish zarur bo’ladi. φ(x) va funksiyalarni davom ettirish uchun chegaraviy shartlardan foydalanamiz. (3) formulaning o’ng tomoniga x=0 va x=1 ni qo’yib,

(-at) + (at)=0, (l-at) + (l+at)=0

tengliklarni hosil qilamiz yoki at ni x orqali belgilab olsak,

(x)=- (x), (l+x) =- (l-x) (11)

tengliklarga ega bo’lamiz. x argument (0,l) oraliqda o’zgarganda (11) formulalardan birinchisi (x) funksiyani (-l,0) oraliqda, ikkinchisi esa (x) funksiyani (l, 2l) oraliqda aniqlaydi. Demak, ikkovi (x) va (x) funksiyalar uzunligi 2l ga teng bo’lgan oraliqda to’la aniqlanadi. So’ngra, (11) dan quyidagi tengliklar kelib chiqadi:

(x+2l)=- (-x)= (x), (x+2l)= (-x)

ya'ni (x) va (x) lar davri 2l ga teng bo’lgan davriy funksiyalardir. Shunday qilib, (x) va (x) funksiyalar barcha haqiqiy x lar uchun aniqlanadi. Boshlang’ich shartlarga asosan,

φ(x)= (x)+ (x),

Bulardan darhol

φ(-x)= (-x)+ (-x)= - (x)- (x)=- φ(x),

= =- ,

φ(x+2l)=φ(x),

tengliklar kelib chiqadi. Bu formulalar shuni ko’rsatadiki, φ(x) va funksiyalar (0,l) oraliqdan (-l,0) oraliqqa toqlik qonuni bo’yicha 2l davr bilan davom etadi.

Muhim bir xulosaga to’xtalib o’tamiz.

Agar (x) va (x) funksiyalar o’zlarining ikkinchi tartibgacha hosilalari bilan birga uzliksiz bo’lgandagina, (3) tenglik bilan aniqlangan funksiya (1) tenglamalani qanoatlantiradi. Chegaralangan tor uchun biz hosil qilgan echim shu hossalarga ega bo’ladimi degan savol tug’iladi. Bunday bo’lishi uchun davom ettirilgan φ(x) va funksiyalar

φ(0)= φ(l)=0, (0)= (l)=0, = , =0

shartlarni qanoatlantirishi zarur. Bu esa boshlang’ich va chegaraviy shartlarning muvofiqlashtirish shartidan iboratdir.