Vertragstheorie Eine Einführung mit finanzökonomischen Beispielen und Anwendungen 2005, XVI, 218 S. Basler, Herbert Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistischen Methodenlehre

a

n−1

a

n−2

. . . a

0

→

Wert a =

n−1

i=0

a

i

· B

i

Dabei werden die Ziffern konventionsgem¨

aß von rechts nach links, beginnend

mit 0 durchnummeriert; d. h. die h¨

ochstwertige Ziffer steht ganz links. Ge-

br¨

auchlich sind im Wesentlichen folgende Zahlensysteme:

• Dualsystem: B=2, Ziffernmenge {0, 1}

• Oktalsystem: B=8, Ziffernmenge {0, 1, . . ., 7}

• Dezimalsystem: B=10, Ziffernmenge {0, 1, . . ., 9}

• Hexadezimalsystem: B=16, Ziffernmenge {0, 1, . . ., 9, A, . . ., F}

Beispielsweise wird die (dezimale) Zahl 83 im Dualsystem als

01010011 = 0

· 2

7

+ 1

· 2

6

+ 0

· 2

5

+ 1

· 2

4

+ 0

· 2

3

+ 0

· 2

2

+ 1

· 2

1

+ 1

· 2

0

dargestellt. Zur Angabe des verwendeten Zahlensystems kann man einen ent-

sprechenden Index nutzen (83

dez

, 01010011

dual

). Acht Bit (z. B. acht Ziffern

einer Dualzahl) werden zu einem Byte zusammengefasst; mit einem Byte

lassen sich folglich 2

8

= 256 verschiedene Informationen abbilden, z. B. der

Zahlenbereich [0, . . ., 255]. Aus der Basiseinheit Byte lassen sich bilden:

• Kilobyte: 1 KB = 2

10

Byte = 1024 Byte

• Megabyte: 1 MB = 2

20

Byte = 1.048.576 Byte

• Gigabyte: 1 GB = 2

30

Byte = 1.073.741.824 Byte

• Terabyte: 1 TB = 2

40

Byte = 1.099.511.627.776 Byte

• Petabyte: 1 PB = 2

50

Byte = 1.125.899.906.842.624 Byte

• Exabyte: 1 EB = 2

60

Byte = 1.152.921.504.606.846.976 Byte

Diese Einheiten weichen damit von den

”

Standardeinheiten“ k = 10

3

, M =

10

6

usw. leicht ab.

13

Ganze Zahlen k¨

onnen im Rechner ¨

uber eine Konvertierung von einer

Dezimalzahl in eine Dualzahl abgebildet werden. Der abbildbare Zahlenbe-

reich ist dementsprechend abh¨

angig von der Anzahl der genutzten Bits bzw.

Bytes. Oftmals wird dabei die L¨

ange eines rechnerabh¨

angigen Maschinen-

wortes (mehrere Byte (z. B. 4), mit der ein Rechner effizient als Einheit um-

gehen kann) verwendet. Zur Darstellung negativer Zahlen k¨

onnte man ein

ausgezeichnetes Bit (z. B. das ganz links) verwenden, das angibt, ob die Zahl

13

Allerdings ist auch die entsprechende Verwendung im EDV-Bereich (EDV: Elekt-

ronische Datenverarbeitung) teilweise uneinheitlich. So wird beispielsweise die

Kapazit¨

at von Festplatten oft ausgehend von 1 kB = 1000 Byte ausgedr¨

uckt;

gleiches gilt f¨

ur die Angabe von Bandbreiten; vgl. Abschnitt 2.5.1.

---

2.2 Codierung von Informationen als Daten

25

negativ ist.

14

Beispielsweise erh¨

alt man bei einer Wortl¨

ange von 32 Bit einen

Zahlenbereich [

−2

31

=

−2.147.483.648, 2

31

− 1 = 2.147.483.647].

Bei der Abbildung von nicht ganzzahligen Zahlen z geht man von der

Darstellung in wissenschaftlicher Notation aus: z = m · B

e

, wobei m die

Mantisse sowie B die Basis des Zahlensystems bezeichnet. Beispiele hierf¨ur

sind:

• 3,14159 = 0,314159 · 10

1

= 0,314159E1

• 0,000021 = 0,21 · 10

−4

= 0,21E-4

In der so genannten Gleitkommadarstellung werden die Mantisse m (inkl.

Vorzeichen) und der Exponent e (inkl. Vorzeichen) in einem festen Format

abgespeichert (unter Verwendung einer festen Basis B). Beispielsweise kann

man in einem Speicherwort von 4 Byte das Bit ganz links als Vorzeichen-

bit der Mantisse, die n¨

achsten 15 Bit f¨

ur die Dualdarstellung der Mantisse,

das n¨

achste Bit als Vorzeichenbit des Exponenten und die restlichen 15 Bit

f¨

ur die Dualdarstellung des Exponenten verwenden. Die L¨

ange der Mantisse

bestimmt die darstellbare Genauigkeit, die L¨

ange des Exponenten den dar-

stellbaren Zahlenbereich.

Die Darstellung textueller Informationen erfolgt im Rechner ¨

uber eine zu

definierende Zuordnung von Zeichen zu Bit-Mustern (d. h. Dualzahlen). Am

gebr¨

auchlichsten ist der ASCII-Code (American Standard Code for Informa-

tion Interchange, ISO 646), bei dem in der urspr¨

unglichen Form sieben Bit

verwendet werden (d. h. maximal 128 verschiedene Zeichen). Damit kann man

beispielsweise in einem Megabyte Speicher bei Verwendung des ASCII-Codes

mehr als 500 Schreibmaschinenseiten Text codieren, wenn man von ca. 30

Zeilen

× 60 Zeichen ≈ 1800 Zeichen pro Schreibmaschinenseite ausgeht. Da

der ASCII-Code f¨

ur die Vielzahl international gebr¨

auchlicher Zeichen nicht

ausreichend ist, wurden erweiterte Codes entwickelt. Einfache L¨

osungen sind

l¨

anderspezifische Erweiterungen des ASCII-Codes auf acht Bit, wodurch et-

wa deutsche Umlaute dargestellt werden k¨

onnen. Der weitergehende Unicode-

Standard (ISO 10646) verwendet 16 bzw. 32 Bit, wodurch alle gebr¨

auchlichen

Zeichens¨

atze abgebildet werden k¨

onnen.

F¨

ur die Abbildung sonstiger Informationen (Graphiken, Bilder, T¨

one, Vi-

deos u. ¨

A.) existieren eine Vielzahl von Standards bzw. Codierungsvorschrif-

ten, die eine entsprechende Abbildung auf Bitmuster definieren. Gegebenen-

falls ist zur digitalen Codierung kontinuierlicher Gr¨

oßen zun¨

achst eine Dis-

kretisierung durchzuf¨

uhren, woraufhin aus solchen diskreten Daten dann die

eigentliche digitale Darstellung berechnet wird. Beispiele hierf¨

ur sind:

• analoge Audio-Daten, Diskretisierung ¨uber AD-Wandler (Analog-Digital-

Wandler), Abspeicherung auf CD (Compact Disc)

• Bilddaten, Rasterung in diskrete Bildpunkte, Codierung als Bitmuster

14

Zumeist kommt bei der Codierung negativer Zahlen dagegen aus rechentechni-

schen Gr¨

unden die Komplementdarstellung zum Einsatz, auf die hier nicht n¨

aher

eingegangen wird.

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26

2. Informatik und Informations- und Kommunikationstechnik

Abschließend ist festzuhalten, dass prinzipiell alles, was diskret messbar

ist, auch verlustfrei bin¨

ar codiert werden kann.