Vektorlarning chiziqli bog'liqligi

Vektorlarning chiziqli bog'liqligi
Har xil muammolarni echishda, qoida tariqasida, bitta vektor bilan emas, balki bir xil o'lchamdagi vektorlar to'plami bilan shug'ullanish kerak. Bunday agregatlar deyiladi vektor tizimi va belgilang
Ta'rif.Vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi shaklning vektori deyiladi
haqiqiy raqamlar qayerda. Shuningdek, aytilganidek, vektor chiziqli ravishda vektorlar bilan ifodalanadi yoki bu vektorlar bo'yicha parchalanadi.Masalan, uchta vektor berilsin: ,,. Ularning 2, 3 va 4 koeffitsientlari bilan chiziqli kombinatsiyasi vektor hisoblanadi Ta'rif. Vektorlar tizimining barcha mumkin bo'lgan chiziqli kombinatsiyalar majmui ushbu tizimning chiziqli konverti deb ataladi. Ta'rif. Nol bo'lmagan vektorlar tizimi deyiladi chiziqli bog'liq agar bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lmagan raqamlar bo'lsa, bu tizimning ko'rsatilgan raqamlar bilan chiziqli kombinatsiyasi nol vektoriga teng bo'ladi: Agar berilgan vektorlar tizimi uchun oxirgi tenglik faqat uchun mumkin bo'lsa, u holda bu vektorlar tizimi deyiladi chiziqli mustaqil.Masalan, ikkita vektorli tizim chiziqli mustaqil; ikki vektorli tizim va chiziqli bog'liq.
Chiziqli bog'liq vektor tizimining xususiyatlar
1. Bitta nol bo'lmagan vektordan tashkil topgan tizim chiziqli mustaqil.
2. Nol vektorni o'z ichiga olgan tizim har doim chiziqli bog'liqdir.
3. Bir nechta vektorni o'z ichiga olgan tizim, agar uning vektorlari boshqalari bilan chiziqli ifodalangan kamida bitta vektor bo'lsa, chiziqli bog'liqdir.
Tekislikda ikki o'lchovli vektorlar holatida chiziqli bog'liqlikning geometrik ma'nosi: bir vektor boshqasi orqali ifodalanganida bizda, ya'ni. bu vektorlar kollinear, yoki shunga o'xshash narsa parallel chiziqlarda.Uch vektorning chiziqli bog'liqligi fazoviy holatda, ular bitta tekislikka parallel, ya'ni. bir xil... Bu vektorlar uzunligining mos keladigan omillarini "tuzatish" kifoya, shunda ulardan biri qolgan ikkisining yig'indisiga aylanadi yoki ular orqali ifodalanadi.Teorema. Kosmosda vektorlari bo'lgan har qanday tizim chiziqli bog'liqdir.Vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi tushunchasi bilan bog'liq holda, berilgan a 1, ..., a n vektorlar tizimining chiziqli birikmasi sifatida yozilishi mumkin bo'lgan vektorlar to'plamini tasvirlash muammosi tug'iladi. Bunga qo'shimcha ravishda, chiziqli kombinatsiya ko'rinishida vektorni tasvirlash shartlari va bunday tasvirning o'ziga xosligi haqida tabiiy savollar mavjud.Ta'rif 2.1. A 1, ... va n vektorlari deyiladi chiziqli bog'liq a 1, ..., a n koeffitsientlar to'plami mavjud bo'lsa a 1 a 1 + ... + a n a n = 0 (2.2)va bu koeffitsientlardan kamida bittasi nolga teng emas. Agar ko'rsatilgan koeffitsientlar to'plami bo'lmasa, vektorlar chaqiriladi chiziqli mustaqil.Agar a 1 = ... = a n = 0 bo'lsa, unda, albatta, a 1 a 1 + ... + a n a n = 0. Buni hisobga olib, biz shunday deyishimiz mumkin: a 1, ... va vektorlar tenglik (2.2) a 1, ..., a n barcha koeffitsientlari nolga tengligini nazarda tutsa, n chiziqli mustaqil.Quyidagi teorema nima uchun yangi tushuncha "qaramlik" (yoki "mustaqillik") atamasi deb nomlanishini tushuntiradi va chiziqli qaramlikning oddiy mezonini beradi.
Teorema 2.1. A 1, ... va n, n> 1 vektorlari chiziqli bog'liq bo'lishi uchun ulardan biri boshqalarning chiziqli birikmasi bo'lishi zarur va etarli.
◄ Zaruriyat. Aytaylik, a 1, ... va n vektorlari chiziqli bog'liq. Chiziqli qaramlikning 2.1 ta'rifiga ko'ra, tenglikda (2.2) chapda kamida bitta nol bo'lmagan koeffitsient mavjud, masalan, a 1. Birinchi davrni tenglikning chap tomonida qoldirib, qolganlarini o'ng tomonga o'tkazamiz, odatdagidek ularning belgilarini o'zgartiramiz. Olingan tenglikni a 1 ga bo'linib, biz olamiz
a 1 = -a 2 / a 1 ⋅ a 2 - ... - a n / a 1 ⋅ a n o'sha. a 1 vektorning qolgan a 2, ..., a n vektorlarning chiziqli birikmasi ko'rinishida tasviri.
Adekvatlik. Masalan, birinchi vektor a 1 qolgan vektorlarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi mumkin: a 1 = b 2 a 2 + ... + b n a n. Barcha atamalarni o'ng tomondan chap tomonga o'tkazib, biz a 1 - b 2 a 2 - ... - b n a n = 0 ni olamiz, ya'ni. a 1, ..., a n vektorlarning a 1 = 1, a 2 = - b 2, ..., a n = - b n koeffitsientlari bilan chiziqli kombinatsiyasi. nol vektor. Bu chiziqli kombinatsiyada hamma koeffitsientlar nolga teng emas. 2.1 -ta'rifga ko'ra, a 1, ... va n vektorlar chiziqli bog'liqdir.
Chiziqli qaramlikning ta'rifi va mezoni shunday tuzilganki, ular ikki yoki undan ortiq vektorlarning mavjudligini nazarda tutadi. Biroq, biz bitta vektorning chiziqli bog'liqligi haqida ham gapirishimiz mumkin. Bunday imkoniyatni amalga oshirish uchun "vektorlar chiziqli bog'liq" o'rniga "vektorlar tizimi chiziqli bog'liq" deb ayting. "Bir vektorli tizim chiziqli bog'liq" iborasi bu yagona vektor nolga teng ekanligini anglatishini tushunish oson (chiziqli kombinatsiyada faqat bitta koeffitsient mavjud va u nol bo'lmasligi kerak).Chiziqli qaramlik tushunchasi oddiy geometrik talqinga ega. Quyidagi uchta bayonot bu talqinga aniqlik kiritadi.РЕКЛАМА
Teorema 2.2. Ikki vektor chiziqli ravishda bog'liq, agar ular bo'lsa chiziqli
◄ Agar a va b vektorlari chiziqli bog'liq bo'lsa, ulardan biri, masalan a, boshqasi bilan ifodalanadi, ya'ni. a = λb ba'zi haqiqiy sonlar uchun. Ta'rif bo'yicha 1.7 ishlaydi sonlar bo'yicha vektorlar, a va b vektorlar kollineardir.
Endi a va b vektorlari kollinear bo'lsin. Agar ikkalasi ham nol bo'lsa, unda ularning chiziqli bog'liqligi aniq, chunki ularning har qanday chiziqli kombinatsiyasi nol vektorga teng. Faraz qilaylik, bu vektorlardan biri 0 ga teng emas, masalan, b vektori. Λ vektor uzunliklari nisbatini bildiraylik: λ = | a | / | b |. Kollinear vektorlar bo'lishi mumkin bir tomonlama yoki qarama -qarshi yo'naltirilgan... Ikkinchi holda, biz the belgisini o'zgartiramiz. So'ngra, ta'rif 1.7 ni tekshirib, a = λb ekanligini ko'ramiz. 2.1 teoremaga ko'ra, a va b vektorlar chiziqli bog'liqdir.
Izoh 2.1. Chiziqli bog'liqlik mezonini hisobga olgan holda ikkita vektor bo'lsa, isbotlangan teoremani quyidagicha qayta tuzish mumkin: ikkita vektor kollineardir va agar ulardan biri ikkinchisining hosilasi son bilan ifodalangan bo'lsa. Bu ikkita vektorning o'zaro bog'liqligi uchun qulay mezon.
Teorema 2.3. Uch vektor chiziqli ravishda bog'liq, agar ular bo'lsa bir xil.
◄ Agar uchta a, b, c vektorlar chiziqli bog'liq bo'lsa, 2.1 -teoremaga ko'ra, ulardan biri, masalan, a, boshqalarning chiziqli birikmasidan iborat: a = bb + γc. Keling, b va s vektorlarning kelib chiqishini A nuqtada birlashtiraylik. Keyin bb, γs vektorlari A nuqtada va uning bo'ylab umumiy kelib chiqishga ega bo'ladi. parallelogram qoidasi ularning yig'indisidir, o'sha. vektor a, kelib chiqishi A va bo'lgan vektor bo'ladi yakun, bu vektor-summandlarga qurilgan parallelogrammaning tepasi. Shunday qilib, barcha vektorlar bir tekislikda yotadi, ya'ni koplanar.


A, b, c vektorlari bir tekis bo'lsin. Agar bu vektorlardan biri nolga teng bo'lsa, demak, bu qolganlarning chiziqli kombinatsiyasi bo'ladi. Chiziqli kombinatsiyaning barcha koeffitsientlarini olish kifoya nolga teng... Shunday qilib, biz uchta vektor ham nol emas deb taxmin qilishimiz mumkin. Mos keluvchi boshlash bu vektorlarning umumiy nuqtasida O. Ularning uchlari mos ravishda A, B, C nuqtalar bo'lsin (2.1 -rasm). C nuqtasi orqali biz O, A va O, B nuqtalar juftlari orqali o'tuvchi to'g'ri chiziqlarga parallel to'g'ri chiziqlar chizamiz, "A" va "B" orqali kesishish nuqtalarini belgilab, biz OA "CB" parallelogrammasini olamiz, shuning uchun OC "= OA" + OB ". Vektor OA" va nol bo'lmagan a = OA vektor o'zaro chiziqli, shuning uchun ularning birinchisini a ni haqiqiy soniga ko'paytirish orqali olish mumkin: OA "= aOA. Xuddi shunday OB" = bOB , b b R. Natijada OC "= a OA + bOB ni olamiz, ya'ni c vektor a va b vektorlarning chiziqli birikmasidir 2.1 teoremaga ko'ra, a, b, c vektorlari chiziqli bog'liqdir.

Teorema 2.4. Har qanday to'rt vektor chiziqli bog'liq.
◄ Isbot 2.3 -teoremada bo'lgani kabi amalga oshiriladi. O'zboshimchalik bilan to'rtta a, b, c va d vektorlarni ko'rib chiqing. Agar to'rtta vektordan bittasi nolga teng bo'lsa yoki ular orasida ikkita kollinear vektor bo'lsa yoki to'rt vektordan uchtasi bir tekis bo'lsa, bu to'rt vektor chiziqli bog'liqdir. Masalan, agar a va b vektorlari o'zaro chiziqli bo'lsa, biz ularning aa + bb = 0 chiziqli kombinatsiyasini nol bo'lmagan koeffitsientlar bilan tuzishimiz va qolgan ikkita vektorni bu kombinatsiyaga qo'shib, nollarni koeffitsient sifatida olishimiz mumkin. Biz 0 ga teng to'rtta vektorning chiziqli kombinatsiyasini olamiz, unda nol bo'lmagan koeffitsientlar mavjud.Shunday qilib, tanlangan to'rtta vektor orasida nol yo'q, ikkitasi kollinear va uchtasi teng bo'lmagan deb taxmin qilishimiz mumkin. Keling, umumiy nuqtasi sifatida O nuqtasini tanlaylik, keyin a, b, c, d vektorlarning uchlari A, B, C, D nuqtalar bo'ladi (2.2 -rasm). D nuqtasi orqali biz OBC, OCA, OAB tekisliklariga parallel uchta tekislik chizamiz va A ", B", C "mos ravishda OA, OB, OC to'g'ri chiziqlar bilan kesishgan nuqtalar bo'lsin. Parallelepiped olamiz. OA "C" B "C" B "DA" va a, b, c vektorlari uning chekkasida O tepasidan chiqadi. OC "DC" to'rtburchagi parallelogramm bo'lgani uchun, OD = OC "+ OC". In. burilish, segment OC "diagonali OA" C "B" parallelogrammidir, shuning uchun OC "= OA"+ OB "va OD = OA"+ OB "+ OC".

Shuni ta'kidlash kerakki, OA ≠ 0 va OA ", OB ≠ 0 va OB", OC ≠ 0 va OC "vektor juftlari o'zaro chiziqli, shuning uchun biz a, b, co koeffitsientlarini OA" = bo'lishi uchun tanlashimiz mumkin. aOA, OB "= bOB va OC" = γOC. Nihoyat, biz OD = aOA + bOB + γOC ni olamiz. Demak, OD vektori boshqa uchta vektor bilan ifodalanadi va 2.1 teoremaga ko'ra, barcha to'rt vektor chiziqli bog'liqdir.
Bo'lsin L - maydon ustidagi chiziqli bo'shliq R ... Bo'lsin A1, a2, ..., va (*) dan cheklangan vektorlar tizimi L ... Vektor V = a1 × A1 + a2 × A2 + ... + bir × An (16) deyiladi Vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi ( *), yoki vektor deb ayting V vektorlar tizimi orqali chiziqli ifodalanishi mumkin (*).