Vektorlar va ularning ayrim xossalari. Skalyar ko’paytma. Vektorlarning o’zaro joylashuvi. Reja

Ta’rif: a=(х₁,у₁, z₁) vа b=(х₂,у₂, z₂) vеktorlar tеng bo‘lishi uchun ularning mos koordinatalari tеng, ya’ni х₁=х₂ , у₁=у₂ , z₁=z₂ bo‘lishi zarur va yеtarli.
Teoremaning isboti (2) yoyilmadan kelib chiqadi va o‘quvchiga havola etiladi.
Ta’rif: a=(х₁,у₁, z₁) vа b=(х₂,у₂, z₂) vеktorlarning yig‘indisi yoki ayirmasining koordinatalari qo‘shiluvchilarning mos koordinatalari yig‘indisi yoki ayirmasiga tеng bo‘ladi, ya’ni
a±b=(х₁,у₁, z₁)±(х₂,у₂, z₂)= (х₁± х₂, y₁± y₂, z₁± z₂). (3)
Isbot: Vektorlarning (2) yoyilmasi va ularni o‘zaro qo‘shish, songa ko‘paytirish amallarining xossalariga asosan
a±b=(х₁,у₁, z₁)±(х₂,у₂, z₂)=(x₁ i +y₁ j+z₁ k)± (x₂ i +y₂ j+z₂ k)=
=(x₁± x₂)i+(y₁± y₂)j+(z₁± z₂)k
tenglikni olamiz va undan (3) formula o‘rinli ekanligini ko‘ramiz.
Masalan, a=(4,–2,1) vа b=(5,9,0) vektorlar uchun
a+b=(4+5,–2+9,1+0)=(9,7,1) , a–b=(4–5,–2–9,1–0)=( –1, –11,1).
Ta’rif: Har qanday a=(х, у, z) vеktorning ixtiyoriy  songa ko‘paytmasining koordinatalari uning har bir koordinatasini  songa ko‘paytirishdan hosil bo‘ladi, ya’ni a=( х, у, z)= (х, у, z).
Teoremaning isbotini o‘quvchilarga mustaqil ish sifatida havola etamiz. Masalan, a=(3, –4, 1) va λ=6 bo‘lsa, 6a=6(3, –4, 1)=(18, –24, 6) bo‘ladi.
Bu natijalardan foydalanib ushbu masalalarni yechamiz.
Masala: Boshi A(x₁, y₁, z₁) va uchi B(x₂, y₂, z₂) nuqtada joylashgan vektorning koordinatalarini toping.
Yechish: Berilgan vektorning A boshi va B uchini koordinatalar boshi O bilan tutashtirib va vektorlarni hosil etamiz (16-rasmga qarang).

Bunda =(x₁, y₁, z₁), =(x₂, y₂, z₂) bo‘ladi va vektorlarning ayirmasi ta’rifi hamda 2-teoremaga asosan quyidagi natijani olamiz:
=(x, y, z)= – =(x₂, y₂, z₂)– (x₁, y₁, z₁)= (x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁) . (4)
Demak, vektorning koordinatalarini topish uchun uchining koordinatalaridan boshini koordinatalarini ayirish kerak. Masalan, boshi A(5,–4, 2) va uchi B(7, 1, 0)
nuqtalarda joylashgan vektorning koordinatalari quyidagicha bo‘ladi:
x= x₂ – x₁=7–5=2, y=y₂ – y₁=1–(–4)=5, z=z₂ – z₁=0 –2= –2.
Masala: Uchlari A(x₁, y₁, z₁) va B(x₂, y₂, z₂) nuqtalarda joylashgan AB kesmani berilgan λ (λ>0) nisbatda bo‘luvchi C(x₀, y₀, z₀) nuqtaning koordinatalarini toping.
Yechish: Oldingi masalaga asosan
=(x₀ – x₁, y₀ – y₁, z₀ – z₁), =(x₂ – x₀, y₂ – y₀, z₂ – z₀)
deb yozishimiz mumkin. Masala sharti, vektorni songa ko‘paytirish ta’rifi va 3-teoremaga asosan ushbu tengliklar o‘rinli bo‘ladi:
| |=λ| | = λ
(x₀ – x₁, y₀ – y₁, z₀ – z₁)=λ(x₂ – x₀, y₂ – y₀, z₂ – z₀)
(x₀ – x₁, y₀ – y₁, z₀ – z₁)= (λ x₂ – λ x₀, λ y₂ – λ y₀, λ z₂ – λ z₀).
Bu yerdan, 1-teoremaga asosan, izlanayotgan x₀ koordinata ushbu tenglamadan topiladi:
.
Xuddi shunday tarzdagi mulohazalar orqali izlangan nuqtaning koordinatalari
(5)
formulalar bilan topilishini aniqlaymiz.
Masalan, uchlari A(2,–3, 1) va B(16, 11, 15) nuqtalarda joylashgan AB kesmani λ=2:5 nisbatda bo‘luvchi nuqtaning koordinatalari (5) formulaga asosan quyidagicha bo‘ladi:

Xususiy, λ=1 bo‘lgan, holda AB kesmaning o‘rta nuqtasi koordinatalari uchun ushbu formulaga ega bo‘lamiz:
. (6)
Masalan, uchlari A(4,–1, 5) va B(2, 11, –13) nuqtalarda joylashgan AB kesmaning o‘rta nuqtasining koordinatalari (6) formulaga asosan quyidagicha bo‘ladi:
x₀=(4+2)/2=3, y₀=(–1+11)/2=5, z₀=(5+(–13))/2=–4 .