Vektorlar nazariyasi elementlari

2.3.2. Vektorlarning aralash ko‘paytmasi

Berilgan vektorlar tartiblangan uchligining aralash ko‘paytmasi deb, vektor bilan vektorning skalyar ko‘paytmasiga teng songa aytiladi va yoki kabi belgilanadi

Aralash ko‘paytmaning moduli nuqtai nazardan ma’nosini tekshiramiz. vektorlar komplanar bo‘lmagan vektorlar bo‘lsin. deb belgilasak, vektor moduli va vektorlardan yasalgan parallelogram yuziga teng (2.12-chizma) bo‘lgani uchun skalyar ko‘paytma ta’rifiga ko‘ra




_2.12-chizma.

Ammo miqdorning moduli, ya’ni son vektorlarga yasalgan parallelepipedning balandligini anglatadi. Demak, aralash ko‘paytmaning absolyut qiymati shu vektorlarga yasalgan parallelepiped hajmiga teng, ya’ni

. (2.3.6)

Aralash ko‘paytmaning ba’zi xossalarini keltiramiz:

1. 
   Ko‘paytmada ikki vektorning o‘rinlari almashtirilsa, aralash ko‘paytmaning ishorasi teskariga almashadi, ya’ni quyidagi tengliklar o‘rinli:
   

2. 
   vektorlarning o‘rinlari “doiraviy shaklda” almashtirilsa, aralash ko‘paytma o‘z ishorasini o‘zgartirmaydi, ya’ni ushbu tengliklar o‘rinli:
   

3. 
   Agar vektorlardan istalgan ikkitasi bir-biriga teng yoki parallel (kollinear) bo‘lsa, ularning aralash ko‘paytmasi nolga teng bo‘ladi.
   
4. 
   Agar vektorlar o‘zaro komplanar vektorlar bo‘lsa, ularning aralash ko‘paytmasi nolga teng.
   

Endi aralash ko‘paytmani vektorlarning koordinatalari orqali ifodalashga o‘tamiz. Dekart koordinatalar sistemasiga nisbatan vektorlarning yoyilmasi berilgan bo‘lsin:

U holda

Shuning uchun

Shunday qilib, uch vektor aralash ko‘paytmasining uchinchi tartibli determinant orqali ifodasi ushbu ko‘rinishda bo‘ladi:

(2.3.7)

Formuladan kelib chiqadigan ba’zi natijalarni keltiramiz.