Vektorlar algebrasi

To’lqinlarning qutblanishi. Yassi monoxromatik elektromagnit to’lqinda maydon kuchlanganliklarining yo’nalishining vaqt va fazoda o’zgarishini aniqlaymiz. Birinchi navbatda elektr maydonini ko’rib chiqamiz. Elektr maydon kuchlanganligi 14-ma’ruzadagi (32) –ifodaning haqiqiy qismini ko’ramiz: E = Re {E₀ exp⦋ i(kr - ⦌}. (1) Bu yerda E₀ –qandaydir kompleks vektor. E₀² ham umuman olganda kompleks son bo’ladi. Uning argumentini -2 deb olsak, E₀² = ǀ E₀² ǀ . (2) Bu ifodani quyidagi ko’rinishda ham yozish mumkin: E₀² = b² . (3) Bu yerda b yana kompleks son bo’lib, uning kvadrati haqiqiy bo’ladi va b² = ǀ E₀² ǀ. Yangi kompleks son orqali (1) ifoda quyidagi ko’rinishda yoziladi: E = Re {b exp⦋ i(kr - ⦌}. (4) Yuqoridagi xossaga ega bo’lgan b vektorni haqiqiy va o’zaro perpendikulyar ikkita b₁ , b₂ vektorlar orqali yozish mumkin, ya’ni b = b₁ + i b₂, b² = (5 Koordinata o’qlarini shunday tanlaymizki, bunda to’lqin x o’qi bo’ylab tarqalsin va b₁ ning yo’nalishi y o’qi bilan mos tushsin. U holda b₂ ning yo’nalishi z o’qiga paral- Iei yoki antiparallel bo’ladi. Bunga asosan (4) bilan ifodalangan elektr maydon kuchlanganligining y va z o’qlarida tashkil etuvchilarga ajratamiz:

E_y = b₁ cos ( ), (6) E_z = b₂ sin ( ). (7) Bundan quyidagi tenglik hosil bo’ladi: (8) Bu tenglamadan ko’ramizki, elektr maydon kuchlanganligining uchi fazoning har bir aniq nuqtasida to’lqin tarqalish yo’nalishiga perpendikulyar tekislikda ellips chizib aylanadi. Bunday to’lqin elliptic qutblangan to’lqin deyiladi. Fazo va vaqtda E vektorning uchi to’lqin tarqalish yo’nalishini o’ragan vint chizig’i bo’ylab aylanadi. Vint bo’ylab aylanish yo’nalishi (7) ifodadan b₂ ning oldidagi ishora bilan aniqlanadi. To’lqinning tarqalish yo’nalishiga qarab turgan kuzatuvchiga nisbatan E vektorning uchi soat strelkasi bo’yicha aylansa (musbat ishora), to’lqin musbat spirallikka (optikada chap qutblanish) ega deyiladi. Aylanish soat strelkasiga qarshi bo’lsa, to’lqin manfiy spirallikka (optikada o’ng qutblanish) ega deyiladi. Agar ǀ E_y ǀ = ǀ E_z ǀ bo’lsa, ellips doira shaklini oladi, to’lqin doiraviy qutblangan deyiladi. Agar E_y = 0 yoki E_z = 0 bolsa, to’lqin chiziqli qutblangan deyiladi. Chiziqli qutblangan yassi monoxromatik elektromagnit to’lqinning elektr va magnit maydon kuchlanganliklari quyidagicha yoziladi: E = E₀ exp⦋ i(kr - ⦌, (9) H = H₀ exp⦋ i(kr - ⦌. (10) Bu yerda E₀, H₀ – o’zgarmas haqiqiy vektorlar. Magnit maydon kuchlanganligining tebranish yo’nalishi 4-ma’ruza (33)- ifoda bilan aniqlanadi. Bunda magnit va elektr maydon kuchlanganliklari vektorlarining tebranishlari o’zaro perpendikulyar yo’nalishlarda bo’lishini e’tiborga olish kerak. Magnit maydon kuchlanganligi vektorining yo’nalishini qutblanish yo’nalishi, deb atash qabul qilingan. Shuningdek, magnit maydon kuchlanganligi vektori bilan to’lqinning tarqalish yo’nalishi tashkil qilgan tekislikni qutblanish tekisligi, deb yuritiladi. Agar to’lqindagi elektr va magnit maydon kuchlanganliklarining vaqt va fazo-dagi o’zgarishi yuqoridagi qonuniyatlarning birortasiga ham bo’ysunmasa, bunday to’lqinni qutblanmagan to’lqin deyiladi.