Vektor va tenzorlar ta`rifi va ular ustidagi amallar. Vektorlar algebrasining analitik nazariyasi. Vektor va tenzorlarning aniq matematik ta`riflari. Ular ustidagi amallar

11.1-misol. D3 gruppasining avvalgi misolda topilgan tasavvurlariga ortogonallik munosabatlarini qo‘llaylik. Buning uchun xarakterlar jadvalini tuzamiz:
Bu gruppada uchta sinf bor edi, har bir sinf elementlari bitta xarakterga egaligini hisobga olib jadvalimizni qayta tuzamiz:
Tasavvurlarning hammasi haqiqiy bo‘lib chiqdi. Topilgan tasavvurlarning hammasi ham keltirilmaydigan ekanligini isbotlash uchun (10) formulaga murojaat qilamiz. Ko‘rinib turibdiki, uchala tasavvur uchun ham
yani, ularning hammasi keltirilmaydigan tasavvurlardir. D3 uchun sinflarning soni uchga teng edi, keltirilmaydigan tasavvurlarning soni esa sinflarning soniga teng bo‘lishi kerak. Bu degani, agar D3 gruppa uchun yana boshqa tasavvurlar topilsa ular keltiriladigan bo‘lib chiqadi.
(19)
Masalan, regular tasavvurni topaylik. Birlik element uchun regular tasavvur o‘lchamli birlik matritsa bo‘ladi:
Bu jadval bo‘yicha gruppa elementlarining tartib nomerlari mos ravishda
(20)
(21)
(22)
Regular tasavvurimiz keltiriladigan tasavvur, uni keltirilmaydigan tasavvurlar bo‘yicha qatorga yoyishimiz mumkin. Yoyilma koeffitsiyentlarini 9-formula bo‘yicha topamiz:
(23)
Topilgan natijani
yoki, matritsa ko‘rinishida
deb ifodalashimiz mumkin.
(24)
(25)
Tasavvurlarning to‘g‘ri ko‘paytmasi
Gruppalarning to‘g‘ri ko‘paytmasini -betda kiritdik. Tasavvurlarning to‘g‘ri ko‘paytmasiga o‘taylik. Tasavvurlar - matritsalardir, shuning uchun matritsalardan boshlaylik. Bizga ikkita matritsa berilgan bo‘lsin:
va
Ularning to‘g‘ri, yoki, tenzor ko‘paytmasi deb quyidagi matritsa aytiladi:
(26)
(27)
matritsaning matrik elementlari elementlardan iborat, buni
ko‘rinishda belgilanadi.
(27) ta‘rifning to‘g‘ri ishlashini ko‘rsataylik. Bizga tartibli ikkita A1 va A2 va tartibli ikkita B1 va B2 matritsalar berilgan bo‘lsin. Bu holda
(29)
(28)
bo‘lishini ko‘rsataylik.
fazoda gruppamizning g elementiga mos keluvchi operatorini deb belgilaylik. Uning ta’sirini quyidagicha aniqlashimiz mumkin:
Agar
belgilash kiritsak oxirgi natijani
ko‘rinishda ham belgilashimiz mumkin.
(30)
Keltirilmaydigan tasavvurlarning to‘g‘ri ko‘paytmasiga mos keluvchi tasavvurni keltirilmaydigan tasavvurlarning to‘g‘ri yig‘indisiga yoyish tasavvurlar nazariyasining ikkinchi asosiy masalasidir. Ikkita tasavvlar va keltirilmaydigan bo‘lgan holda ham ularning to‘g‘ri ko‘paytmasi keltirilmaydigan bo‘lmasligi mumkin. Odatga, bu ko‘paytma keltiriladigan tasavvur bo‘lib uni keltirilmaydigan tasavvurlarning to‘g‘ri yig‘indisiga yoyish masalasi muhim masaladir:
Bunday qator Clebsch-Gordon qatori deyildi, koeffitsiyentlar esa Clebsch-Gordon koeffitsiyentlari deyiladi. Ta’kidlab ketaylik, o‘ng tomondagi qator - tasavvur matritsalarining to‘g‘ri yig‘indisidir.
(31)
To‘g‘ri ko‘paytmaning xarakteri xarakterlarning ko‘paytmasiga teng:
Clebsch-Gordon qatori uchun bundan quyidagini olamiz:
(32)
(33)
Tanlash qoidalari
Bizga biror fizik kattalik berilgan bo‘lsin, unga mos keluvchi operatorni deb belgilaylik. Kvant mexanikasida odatda
ko‘rinishdagi matrik elementni hisoblash masalasi qo‘yiladi. Agar fizik sistema qandaydir simmetriyaga ega bo‘lsa yuqoridagi matrik elementning qanday hollarda noldan farqli va qanday hollarda aynan nolga tengligini gruppalar nazariyasi aniqlab berishi mumkin. Bu ish ortogonallik munosabatlari asosida qilinadi.
(34)