Vektor va tenzorlar ta`rifi va ular ustidagi amallar. Vektorlar algebrasining analitik nazariyasi. Vektor va tenzorlarning aniq matematik ta`riflari. Ular ustidagi amallar

Ortogonallik munosabatlari. To’g’ri ko’paytma. Tanlash qoidalari. Tasavvurlarning keltirilmaslik xossasi. Taqiqlangan va taqiqlanmagan jarayonlar.

Bizga n- tartibli G gruppasining ikkita va keltirilmaydigan tasavvurlari berilgan bo‘lsin, ularning o‘lchamliklari mos ravishda va bo‘lsin. Bu holda
ekanligini ko‘rsataylik.
Quyidagi matritsani tuzamiz:
bu yerda i, j matritsa indekslari emas, matritsa nomeridir.
(1)
(2)
B matritsaga kelganimizda u ixtiyoriy o‘lchamli matritsa bo‘lsin. Ko’rinib turibdiki,
Olingan natija
ga Schurning ikinchi lemmasini qo’llasak
bo’lganda
i=j bo’lganda esa M(ii) birlik matritsaga proportsionalligini topamiz:
(3)
B matritsa sifatida faqatgina elementi birga teng, boshqa hamma elementlari nolga teng matritsani olaylik: Bu holda
munosabatga kelamiz. Bu munosabatda i=j deb bo‘yicha yig‘indini olamiz:
Bu tengliklarning birinchisi matritsaning o‘lchamligi ekanligidan kelib chiqadi, ikkinchisi esa dan va gruppa G ning tartibi n ga tengligidan kelib chiqadi. Shu bilan
ekanligini topdik.
(4)
(5)
Agar keltirilmaydigan tasavvur uchun
ekanligini eslasak (5) formulaning isboti tugaydi.
Ortogonallik munosabati (5) xarakterlar uchun muhim bo‘lgan natijaga olib keladi. (1) da va indekslar bo‘yicha yig‘indilarni olaylik:
(6)
Bu munosabat keltirilmaydigan tasavvurlar xarakterlarining ortogonalligini bildiruvchi munosabatdir, uni ochib yozaylik:
undan keltirilmaydigan tasavvur xarakterlarining ma’lum bir n o‘lchamli fazoda ortogonal vektorlar sistemasi ni tashkil etishi kelib chiqadi.
(7)
Eslataylik, bir sinfning ichidagi elementlarga mos keluvchi tasavvurlar harakterlari bir-biriga teng, agar gruppada s ta sinf bo‘lsa, har-xil xarakterlarning soni ham s ta bo‘ladi. Shu sababdan yuqoridagi qatorni haqiqatda quyidagicha yozib olishimiz to‘g‘riroqdir:
bu yerda nchi sinfndagi elementlar soni, nchi sinfga tegishli bir element.
Yuqoridagi munosabatning i=j dagi xususiy holi:
(8)
(9)
Demak, quyidagi jadvalning
har bir satri uzunligi birga teng vektorni beradi, ixtiyoriy ikki satrdagi vektorlar o‘zaro ortogonaldir.
Bizga bir keltiriladigan tasavvur berilgan bo‘lsin. Uning xarakterini deb belgilaylik. Shu tasavvur keltirilmaydigan tasavvurlarga yoyilsin:
Bu yoyilmada ba’zi bir keltirilmaydigan tasavvurlar bir necha marta uchrashi mumkin, umumiy holda i-keltirilmaydigan tasavvur mi marta uchrashi mumkin bo‘lsin. Buni biz i-nchi tasavvurning karraligi mi ga teng deymiz. Xarakterlarga o‘taylik:
(11) formuladan quyidagini topish mumkin:
(10)
(11)
(12)
Yana bir munosabat:
yoki,
Bu munosabatdan bir muhim xulosa chiqaramiz: xarakteri bo‘lgan tasavvur keltirilmaydigan bo‘lishi uchun
bo‘lishi kerak, chunki bu holda faqat bittagina mi birga teng, qolganlari esa nolga teng bo‘ladi.
(13)
(14)
(15)
Regular tasavvurga o‘taylik. Regular tasavvur uchun qolgan hamma elementlar uchun
bo‘ladi, demak, (13) formula
ko‘rinishga keladi. Ikkinchi tomondan regular tasavvur uchun
bo‘lishi kerak, bu yerda ni – i -nchi tasavvurning o‘lchamligi. Shu formulalarni solishtirsak regular tasavvurning keltirilmaydigan tasavvurlarga yoyganimizda har bir keltirilmaydigan tasavvur o‘zining o‘lchamligiga teng bo‘lgan karralik bilan kirishini topamiz:
16-formuladan yana bir muhim natija kelib chiqadi: abel gruppalari uchun har bir mi=1, chunki ularda har bir element alohida sinfni tashkil qiladi, ya’ni, ular uchun k=n.
(16)
(17)
(18)