Vektor maydondagi chiziqli integral

Yechish. ga egamiz. Hususiy hosilalarni topamiz.

Demak, (1) ga asosan .
Stoks teoremasi
0xy tekislikdagi yopiq D soha bo’yicha ikki o’lchovli integralni shu sohani chegrasi yopiq L egri chiziq bo’yicha olingan egri chiziqli integral orqali ifodalash mumkinligini Grin formulasi orqali ko’rgan edik. Sirt integrallari uchun ham Grin formulasiga o’xshash formula mavjud bo’lib, u σ sirt bo’yicha sirt integralini shu sirtni chegaralovchi L kontur bo’yicha ikkinchi tur egri chiziqli integral orqali ifodalaydi.
2-teorema. Agar P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) funksiyalar o’zlarining birinchi tartibli xususiy hosilalari bilan birga σ sohada uzluksiz bo’lsa, u holda
(1)

formula o’rinli bo’ladi. Bunda L-σ sirtni chegarasi, sirtga normal vektorga mos birlik vektor. (1) formula Stoks formulasi deyiladi. Bu formulada L kontur bo’yicha integrallash yo’nalishi musbat yo’nalish bo’yicha amalga oshiriladi. Isboti. σ sirt hamma koordinata tekisliklariga bir qiymatli proyeksiyalanadi, ya’ni σ sirtning istalgan nuqtasi orqali koordinata o’qlariga parallel o’tuvchi to’g’ri chiziq shu sirt bilan bitta nuqtada kesishadi deb faraz qilamiz.

7-chizma.

Sirtning tenglamasi
Z=z(x,y)
bo’lsin, bunda z(x,y) funksiya σ sirtning 0xy tekislikdagi proyeksiyasi D₁ sohada differensiallanuvchi.
L egri chiziqning 0xy tekislikdagi proyeksiyasini L₁ orqali belgilaymiz. U D₁ sohaning chegarasi bo’ladi.
σ sirtning yuqori tomonini tanlab olamiz.

egri chiziqli integralni avval L₁ kontur bo’yicha, keyin uni Grin formulasidan foydalanib D₁ soha bo’yicha ikki o’lchovli integralga almashtiramiz va nihoyat uni ikki o’chovli integralni σ sirt bo’yicha sirt integraliga almashtiramiz.
L konturning 0xy tekislikdagi proyeksiyasi L₁ bo’lgani uchun

bo’ladi.
Grin formulasidagi munosabatga murakkab funksiyani differensiallash qoidasini qo’llab

tenglikni topamiz. dxdy ni cosγ·dσ ga almashtirib D₁ soha bo’yicha ikki o’lchovli antegralni σ sirt bo’yicha sirt integraliga kelamiz:
. (2)
zqz(x,y) sirtga normal to’g’ri chiziq tenglamasiga ko’ra uning yo’naltiruvchi vektori

bo’lishi ma’lum. va vektor kollinear bo’lgani uchun kollinearlik shartidan tenglikka ega bo’lamiz. Buni hisobga olib (2.14)ni
(3)
ko’rinishda yozish mumkin.
Shunga o’xshash
(4)
(5)
formulalarni hosil qilamiz.
(3), (4), (5) formulalarni hadma had qo’shib isbotlanishi lozim bo’lgan (1) Stoks formulasini hosil qilamiz.
Birinchi va ikkinchi tur sirt integrallari orasidagi bog’lanishni hisobga olib Stoks formulasini quyidagicha yozish ham mumkin:
.
Stoks formulasi yopiq kontur bo’yicha egri chiziqli integrallarni sirt integrallari yordamida hisoblash imkonini beradi.
Uyurma tushunchasidan foydalanib Stoks formulasini vektor shaklida