Vektor ham skalyar maydanlar. Gradiyent ha’m jo’nelis boyinsha tuwindi. Divergenciya ha’m rotor. U’st siziqlari. Gradiyent maydanlar

VEKTOR HAM SKALYAR MAYDANLAR. GRADIYENT HA’M JO’NELIS BOYINSHA TUWINDI. DIVERGENCIYA HA’M ROTOR.U’ST SIZIQLARI. GRADIYENT MAYDANLAR.
Fizikada, mexanika daǵı kóplegen máselelerde skalyar hám vektor shamalar menen jumıs kóriwge tuwrı keledi.
Skalyar shama óziniń san ma`nisi menen tolıq ańlatpalanadı (mısalı, kólem, massa, tıǵızlıq, temperatura, hám taǵı basqalar ).
1-Tariyp. Keńisliktiń qandayda bir bólegi (yamasa pútkil keńisliktiń ) hár bir M noqatında qandayda bir u skalyar muǵdardıń san ma`nisi anıqlanǵan bolsa, bul muǵdardıń skalyar maydanı berilgen dep ataladı.
Mısalı, temperatura maydanı, bir jınslı emes ortalıqta tıǵızlıq maydanı, kúsh maydanı potensialı.
Eger u shama t waqıtqa baylanıslı bolmasa, bul shama statsionar (yamasa turaqlı ) shama dep ataladı.
Keri jaǵdayda nostatsionar (yamasa turaqlı bolmaǵan ) maydan dep ataladı. Biz tek statsionar maydanlardı qarap shıǵamız. Sonday etip, u skalyar shama t waqıtqa baylanıslı bolmastan, tek M noqattıń keńisliktegi ornına baylanıslı boladı, yaǵnıy u shama M noqattıń funksiyası retinde qaraladı hám u=u (M) kóriniste belgilenedi. Bul funksiyanı maydan funksiyası dep ataymız.
Eger keńislik Oxyz koordinatalar sistemasın kiritsak, ol halda hár bir M noqat málim x, y, z koordinatalarǵa iye boladı hám ol skalyar funksiya sol koordinatalardıń funksiyası boladı :
u=u(x, y, z).
Sonday etip, biz úsh ózgeriwshili funksiyanıń fizikalıq talqiniga keldik.
Tegisliktiń bóleginde (yamasa pútkil tegislikte) anıqlanatuǵın skalyar maydandı da qarap shıǵıw múmkin, onıń hár bir M noqatına u skalyar shamanıń san ma`nisi sáykes keledi, yaǵnıy u=u (M).
Eger tegisliktiń Oxy koordinatalar sisteması kiritilse, onda hár bir M noqat málim x, y koordinatalarǵa iye boladı hám u skalyar funksiya sol koordinatalardıń funksiyası boladı :
u=u (x, y).
Skalyar maydanlardıń ózgesheliklerin úst sirtlari yamasa úst sızıqları járdeminde úyreniw múmkin, olar sol maydanlardıń geometriyalıq suwreti esaplanadı.
1. Úst sirtlari.
2-Tariyp. Skalyar maydandıń úst sırtı dep keńisliktiń sonday noqatları tolıqmiga aytıladıki, ol jaǵdayda maydan funksiyası u=u (x, y, z) ózgermeytuǵın bahaǵa iye boladı.
Bul sirtlar u(x, y) =C teńleme menen anıqlanıwı ayqın, bunda C -- ózgermeytuǵın san.
C ga túrli bahalar berip, úst sirtlari shańaraǵın payda etemiz. Bul sirtlarda skalyar funksiya
ózgermeytuǵın bolıp qaladı.
Eger, mısalı, maydan u=x2+y2+z2 funksiya menen kórsetilgen bolsa, onda orayı koordinatalar basında bolǵan x2+y2+z2=C (C>0) sfera úst sırtı wazıypasın atqaradı.
2. Úst sızıqları. Tegis skalyar maydan geometriyalıq tárepten úst sızıqları járdeminde suwretlenedi.
3-Tariyp. Tegis skalyar maydandıń úst sızıǵı dep tegisliktiń sonday noqatları tolıqmiga aytıladıki, ol jaǵdayda u=u (x, y) maydan funksiyası ózgermeytuǵın bahaǵa iye boladı.
Bul sızıqlar u(x, y) =C teńleme menen anıqlanadı, bunda C-- ózgermeytuǵın san.
C ga túrli bahalar berip, úst sızıqları shańaraǵın payda etemiz. Bul sızıqlarda skalyar funksiya turaqlı bolıp qaladı. Formada úst sızıqlarınıń bir-birinen teń aralıqlardan keyin keletuǵın ol sonshalıq tez ósip baradı.
Eger, mısalı, skalyar maydanlar u=xy yamasa u=x2+y2 funksiyalar menen berilgen bolsa, olar ushın úst sızıqları wazıypasın uyqas túrde giperbolalar hám konsentrik sheńberler shańaraǵı atqaradı (86, 87-sırtqı kórinisler).
Skalyar maydandıń áhmiyetli túsinigi berilgen jónelis boyınsha tuwındı bolıp tabıladı. Shama menen oylayıq, skalyar maydandıń differenciyallanuvchi funksiyası
ol = ol (x, y, z) berilgen bolsın. Bul maydan daǵı qandayda bir M (x, y, z) noqattı hám sol noqattan shıǵıwshı qandayda bir 𝑙⃗ nurni qaraymız. Bul nurning Ox, Ay, Az oqları menen shólkemlestirgen múyeshlerin α, β, γ arqalı belgileymiz (88- forma ). Eger birlik vektor bul nur boyınsha jónelgen bolsa, ol halda tómendegine iye bolamız :

Shama menen oylayıq, qandayda bir M1 (x+∆x, y+∆y, z+∆z) noqat sol nurda jatqan bolsın. M hám M1 nuqtalar arasındaǵı aralıqtı ∆l menen belgileymiz: ∆l=| M M1|. Skalyar maydan funksiyası bahaları ayırmasın sol funksiyanıń 𝑙⃗

଴ jóneliste sol noqatlar daǵı arttırıwı dep aytamiz hám ∆lu menen belgileymiz. Ol halda
∆lu =u (M1)-ol (M)
yamasa
∆𝑙u =u (x+∆x, y+∆y, z+∆z)-ol (x, y, z)
4-Tariyp. u=u (x, y, z) funksiyalardıń 𝑙⃗
଴ jónelis boyınsha M (x, y, z) noqat daǵı tuwındı dep
limitga aytıladı, bul limit డ௨
డ௟ formasında belgilenedi. Sonday etip, డ௨
డ௟ = lim∆௟→଴
∆௟௨
∆௟
Eger M noqat tayınlanǵan bolsa, ol túrde tuwındınıń úlkenligii tek ℓ ⃗ nurning baǵdarınaǵana baylanıslı boladı.
𝑙⃗ jónelis boyınsha tuwındı hususiy tuwındılarǵa uqsas ol funksiyanıń usı baǵdardaǵı ózgeris tezligin xarakterleydi. Tuwındınıń 𝑙⃗ jónelis boyınsha absolyut muǵdarı tezliktiń úlkenligin anıqlaydı, tuwındınıń belgisi bolsa ol funksiya ózgeriwiniń xarakterin anıqlaydı : eger డ௨
డ௟> 0 bolsa, o' túrde funksiya bul jóneliste ósedi, eger డ௨
డ௟<0 bolsa, azayadı.
Berilgen jónelis boyınsha tuwındın esaplaw qo'yidagi teorema járdeminde ámelge asıriladı.
T e o r e m a. Eger ol (x, y, z ) funksiya differensiallanuvchi bolsa, ol halda onıń qálegen baǵdarı boyınsha tuwındı ámeldegi hám tómendegine teń:

Bunda cos𝛼, cos𝛽, cos𝛾 —𝑙⃗vektorning jóneltiriwshi kosinuslari.

Tastıyıqı. ufunksiya teoremaning shártiga kóre differensiallanuvchi bolsa, ol halda onıń M (x, y, z ) noqat daǵı ∆u arttırıwın

kórinisinde jazıw múmkin, bunda 𝜀 shama

ga salıstırǵanda joqarı tártipli sheksiz kishi muǵdar, yaǵnıy limఘ→଴
ఌ
ఘ
= 0.
Eger funksiya arttırıwı
௟
→vektor baǵdarı daǵı nur boylap qaralsa, ol halda
∆𝑢 = ∆௟𝑢, 𝜌 = ∆�

bolıwı ayqın. Ol túrde (2. 1) teńlik bunday kórinisti aladı : Teńliktiń eki bólegin ∆𝑙 ga bólemiz va∆𝑙 → 0 de limitga ótemiz. Nátiyjede

sebebi

hususiy tuwındılar hám yo'naltiruvchi kosinuslar ∆𝑙 baylanıslı bolmaydı

Sonday etip, teorema tastıyıqlandi. (2) formulada, eger 𝑙⃗ jónelis koordinatalar o'qining baǵdarlarınan biri menen birdey bolsa, ol halda bul jónelis boyınsha tuwındı tiyisli hususiy tuwındına teń, mısalı, eger 𝑙⃗=𝑙⃗bo'lsa, ol halda 𝛼 = 0, 𝛽 = 𝛾 = గ, r = ol - ol boladı, sol sebepli 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 1, 𝑐𝑜𝑠𝛽 = 𝑐𝑜𝑠� =0 hám sonlıqtan,
(2) formuladan usıdan ayqın boladı, 𝑙⃗ jónelisgaqarama-qarsı 𝑙 ሬ⃗' baǵdarı boyınsha tuwındı 𝑙⃗ jónelis boyınsha teris belgi menen alınǵan tuwındına teń.
Rasında bunda, 𝛼, 𝛽, 𝛾 múyeshler 𝜋 ga ózgeriwi kerek, nátiyjede tómendegin payda etemiz:

Bul jónelis kerisine ózgergende, funksiyanıń ózgeris tezliginiń absolyut muǵdarı ózgermeydi, onıń tek baǵdarı ózgeredi tek.

Eger, mısalı, 𝑙⃗ jóneliste funksiya o'ssa, ol túrde keri 𝑙⃗ jóneliste ol azayadı, hám kerisinshe. Eger maydan tegis bolsa, ol halda 𝑙⃗ nurning yo'nalshi ol onıń abssissalar oǵına iyiw múyeshi 𝛼 menen tolıq anıqlanadı. 𝑙⃗ jónelis boyınsha tuwındı ushın formulanı tegis maydan jaǵdayında (2) formuladan alıw múmkin, bunda

dep alınadı. Ol halda

M i s o l. i = xyz funksiyanıń M (-1, 2, 4 ) noqatda sol noqattan M1 (—3, 4, 5) noqatqa tárep baǵdardaǵı tuwındın tabıń.
Y e c h i s h. 𝑀 𝑀1 ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬ⃗vektorni tabamız :

hám ońǵa uyqas birlik vektordı xam tabamız :

Sonday etip, 𝑙⃗଴ vektor tómendegi jóneltiriwshi kosinuslarga iye.

Endi xyz funksiyanıń jeke tuwındıların tabamız :

hám olardı M ( — 1, 2, 4) noqatda esaplaymiz:

Jeke tuwındılardıń hám yo'naltiruvchi kosinuslarning tabılǵan bahaların (2) formulaǵa qóyamız :

«—» belgi berilgen jóneliste ol = xyz funksiya azayıwın kórsetedi.
3. Skalyar maydan gradienti. Gradientni invariant anıqlaw
5 - Tariyp : ol = ol (x, ol, z) differentsiallanuvchi funksiya menen berilgen skalyar maydandıń M (x, y, z ) noqat daǵı gradienti dep, gradu menen belgileniwshi vektorǵa aytilib, onıń proeksiyaları wazıypasın sol funksiyanıń jeke tuwındıları bahaları, atqaradı, yaǵnıy

Gradientning proeksiyaları M (x, ol, z) noqattı tańlawǵa baylanıslı boladı hám sol noqattıń koordinataları ózgeriwi menen ózgeredi. Sonlıqtan, ol (x, ol, z) funksiya menen berilgen skalyar maydandıń hár bir noqatına málim bir vektor — sol funksiyanıń gradienti uyqas qóyıladı

Gradientning tariypidan paydalanıp, 𝑙⃗଴ jónelis boyınsha tuwındın ańlatiwshı (2) formulanı tómendegi kóriniste jazıw múmkin:

Bunda baǵdardaǵı birlik vektor. Sonday eken, berilgen 𝑙⃗u jónelis boyınsha tuwındı funksiya gradienti sol ol jónelisting𝑙⃗

଴ birlik vektorı kóbeymesine teń. Skalyar kóbeytpe tariypidan paydalanıp, (3. 2) formulanı

kóriniste ańlatıw múmkin, bunda 𝜑— birlik vektor 𝑙⃗

0 menen gradient arasındaǵı múyesh (89 -forma ). ห𝑙଴
ሬ⃗ห = 1 bo'lgani ushın

boladı. Bunnan jónelis boyınsha tuwındı cos 𝜑 = 1 bo'lganda, yaǵnıy 𝜑 = 0 de eń úlken bahaǵa erisedi. Usınıń menen birge bul eń úlken baha| 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢| ga teń, yaǵnıy bul halda

Sonday etip,| gradu| shama tuwındınıń M noqat daǵı múmkin bolǵan eń úlken ma`nisi boladı, gradu dıń baǵdarı bolsa M noqattan shıǵıwshı sonday nurning baǵdarı menen uyqas túsediki ol boylap funksiya barlıǵınan kóre tezrok, ózgeredi, yaǵnıy gradientning baǵdarı funksiyanıń eń tez artpaqtası daǵı baǵdarı bolıp tabıladı. Bul joqarıda keltirilgen gradientning koordinatalar Sistemasınan paydalanılǵan tariypi ornına endi basqa, koordinatalar sistemasın tańlawǵa baylanıslı bolmaǵan invariant tariypni beriwge múmkinshilik beredi.
6 - Tariyp. ol (x, y, z) skalyar maydandıń gradienti dep, bul maydan ózgeriwiniń eń úlken tezligin ańlatiwshı vektorǵa aytıladı.
Eger cos 𝜑 = −1 (𝜑 = 𝜋) bolsa, ol túrde jónelis buiicha tuwındı| grad u| ga teń eń kishi baha boladı. Bul jóneliste (keri jóneliste) ol funksiya xammasidan tezirek azayadı.
bolsa jónelis boyınsha tuwındı nol
ga teń. Endi skalyar maydandıń gradienti baǵdarı menen satx sirtlari arasındaǵı baylanısıwdı úyrenemiz. ol = ol (x, ol, g ) funksiyanıń maydandıń hár bir noqatı daǵı gradientining baǵdarı sol noqattan ótetuǵın skalyar maydandıń satx tegisligine ótkerilgen normaldıń baǵdarı menen uyqas túsiwin tastıyıqlaymız. Onıń ushın qálegen M0 (x0, y0 z0) noqattı tańlap alamız (90 -forma ). Bul noqattan ótetuǵın satx sırtı teńlemesi ol (x, ol, z ) =u 0 kóriniste jazıladı, bunda u0= ol (x 0, u0, z 0)
M0 (x0, u0, z0) noqattan sol tegislikke ótkerilgen normalınıń teńlemesin dúzemiz:

Bunnan,

proeksiyalarǵa iye bolǵan normaldıń jóneltiriwshi vektorı ol (x, y, z) funksiyanıń M0 (x0, u0, z0) noqat daǵı gradienti boladı.
Sonday etip, hár bir noqat daǵı gradient berilgen noqattan ótetuǵın úst sırtına ótkerilgen urınba tegislikke perpendikulyar boladı, yaǵnıy onıń tegislikke proeksiyası nolǵa teń. Sonday eken, berilgen noqattan ótetuǵın úst sırtına urınba bolǵan qálegen jónelis boyınsha tuwındı nolǵa teń. Ayqınlıq ushın alınǵan nátiyjeni geometriyalıq tárepten suwretleymiz (91-forma ). Onıń ushın