|
EGRILIK CHIZIQLARI
Indikatrisa tushunchasi sirt ustida joylashgan chiziqlarning yana bir ajoyib sinfi bilan tanishish imkoniyatini beradi.
Ta’rif. Sirt ustida yotgan chiziqning har bir nuqtasidagi urinmasi sirtning shu nuqtadagi bosh yo’nalishlaridan biri bo’yicha yo’nalgan bo’lsa, bunday chiziq sirtning egrilik chizig’i deyiladi.
Ta’rifga ko’ra, egrilik chizig’i bosh urinmalarga urinadi, bu esa uning diffe-rensial tenglamasini keltirib chiqarishga imkon beradi:
(1)
Haqiqatan, sirtning berilgan nuqtasidagi yo’nalishi bosh yo’nalish bo’lishi uchun (1) tenglama zarur va yetarli shart edi. Agar dumaloqlanish va zichlanish nuqtalari qaralmasa, bub u tenglama ga nisbatan ikkinchi darajali bo’lib, uning ildizlari hamma vaqt haqiqiydir, chunki sirt o’zining har bir nuqtasida doimo ikkita haqiqiy bosh yo’nalishga egadir: istalgan sirtning har bir nuqtasidan ikkita egrilik chizig’i o’tadi.
Sirt (indikatrisa)ning har bir nuqtasidagi bosh yo’nalishlari o’zaro tik bo’lgani sababli, egrilik chiziqlari sirtda ortogonal to’r tashkil qiladi va bu to’r (1) kvadrat tenglamani ga nisbatan yechish natijasida hosil bo’lgan birinchi tartibli ikkita
differensial tenglamadan aniqlanadi.
Sirt ustida tanlab olingan koordinat to’rining egrilik chiziqlari to’ridan iborat bo’lishi uchun bunday koordinatalar sistemasida ikkala fo’rmaning o’rta koeffitsiyentlari nolga teng, ya’ni
bo’lishi zarur va yetarlidir. Lekin shuni ta’kidlab o’tish kerakki, F=0 tenglik koordinat chiziqlarning tikligini, D=0 tenglik esa ularning qo’shmaligini bildiradi (egrilik chiziqlari ortogonallik va qo’shmalik xossasiga egadir).
Sfera va tekislik uchun (1) tenglama aynan bajariladi; demak, sfera yoki tekislik ustidagi ixtiyoriy chiziqlar egrilik chiziqlari vazifasini ado eta oladi (sfera uchun tekisliklari uchun ).
Aylanma sirtda egrilik parallel va meridianlardan iborat, chunki ular sirtning har bir nuqtasida bosh yo’nalishlarga urinadi. Chindan ham, aylanma sirtda meri-dian va parallellar koordinat chiziqlar sifatida olinsa, bunday sistemada bo’ladi.
Rodrig teoremasi. Biror (d) yo’nalish sirtning bosh yo’nalishi bo’lsa, ushbu tenglik o’rinli bo’ladi:
(2)
bunda, - shu yo’nalishdagi normal kesimning egriligidir. Aksincha, (d) yo’nalishda dn va dr vektorlar kolleniar bo’lsa:
(3)
bunday (d) yo’nalish bosh yo’nalishdir.
Isbot. Haqiqatan, shuning uchun dn vektor urinma tekislikda yotadi. Bosh yo’nalishlardan ikkinchisini (δ) bilan belgilasak, dn vektor bir-biriga tik dr va δr vektorlar tekisligida yotadi, shu sababli:
(4)
Endi ni va bu yo’nalishlarning qo’shmaligini hisobga olsak, ushbuga ega bo’lamiz:
.
(4) ning ikkala tomonini δr ga ko’paytiramiz:
Bu yerda λ2=0, demak, buning ikkala tomonini dr ga ko’paytirsak, yoki
hosil bo’ladi. Shunday qilib, (2) tenglik isbotlandi.
Aksincha, (3) tenglik o’rinli bo’lsin; agar (δ) yo’nalish (d) yo’nalishga tik bo’lsa, (3) ni δr ga ko’paytirib, ni, ya’ni qo’shmalik shartini hosil qilamiz, biroq orthogonal va qo’shma yo’nalish bosh yo’nalishdir. Demak, teorema isbotlandi.
Isbotlanga (2) formula Rodrig formulasi deyilib, u sirtning egrilik chiziqlari chun xarakterlidir.
Endi egrilik chiziqlarining sof geometrik xossasiga o’taylik.
Teorema. Sirtning egrilik chizig’i bo’ylab olingan normallari yoyiluvchi sirtni (torsni) tashkil etadi.
Boshqacha aytganda, egrilik L chizig’i bo’ylab harakat qilganda, sirt normallari o’ramaga ega bo’ladi, ya’ni bu normallar qandaydir L1 chiziqqa urina boradi (5-chizma).
5-chizma
Isbot. Sirt ustida chiziq olib, sirtning bu chiziq nuqtalaridagi normallari o’ramaga ega deb talab qilamiz. Normaldagi (ya’ni o’ramadagi) nuqtaning radius-vektori R desak,
(5)
bo’ladi. Shartga asosan, yoki
Bu tenglikni n ga skalyar ko’paytirsak, kelib chiqadi, shu sababli
(6)
Bu tenglikka kirgan a koeffitsiyent – sirtning M nuqtasidan qaytish qirrasidagi (xarakteristik) nuqtasigacha bo’lgan masofasidir; (6) tenglik egrilik chiziqlari uchun xarakterli bo’lib, unda a koeffitsiyent ga tengdir.
Aksincha, sirt ustidagi biror L chiziq bo’ylab (6) shart bajarilsa, shart o’rinli bo’ladi, ya’ni normalar (5) chiziqqa urinadi. Haqiqatan,
Teorema isbotlandi.
Sfera yoki tekislik biror sirt bilan bir xil burchak ostida kesishsa, kesishish chizig’i shu shu sirtning egrilik chizig’idir.
XULOSA
Men bu kurs ishini tayyorlash davomida differensial geometriya va topologiya fanidan ko’plab yangi bilimlar to’pladim, “Sirt ustidagi ba’zi chiziqlar to’ri” mavzusini o`rgandim, bunda qo’shma yo’nalishlar, qo’shma to’r, asimptotik chiziqlar, egrilik chiziqlari haqida bilib oldim, sirt tushunchasi va uning berilish usullari, sirt ustida yotuvchi chiziqlar haqida ma’lumotlarga ega bo’ldim, asosli, isbotlangan teoremalarni kurs ishimga kiritdim. Mazkur kitoblarda berilgan ma'lumotlarni bir-biri bilan diqqat bilan solishtirib bordim va o’z bilimlarimni yana bir bor chuqurlashtirdim.
Ushbu kurs ishida yoritilgan tushunchalarni bir-biriga o`xshash va bir-biridan farqli tamonlarini bilib oldim. Kelajakdagi ish faoliyatimda bu ma`lumotlar menga ko`plab qiyinchiliklarni yengib o`tishimda ko`mak bo`ladi degan umiddaman.
Do'stlaringiz bilan baham: |
