Vazirligi qarshi davlat universiteti

x, y,...,z elementlar sistemasining maksimal chiziqli erkli soniga teng. Xususan

agar elementlar

x, y,...,z

elementlar chiziqli erkli bo`lsa, u holda

L(x, y,..., z)

chiziqli qobiqning o`lchovi

x, y,...,z

elementlar soniga teng.

Qism fazoning yig`indisi va kesishmasi.

L₁ ^va L₂

R fazoning ikkita ixtiyoriy qism fazosi bo`lsin. ^R fazoning bir paytda

L₁ ^va L₂

da yotuvchi x elementlari to`plami R fazoning qism fazosi bo`ladi va u

L₁ va L₂

fazolarning ko`paytmasi deyiladi.

^R fazoning barcha y

z ko`rinishdagi elementlari to`plami, bunda y

L₁ fazoning

^elementi z ^esa

L₂ fazoning elementi ^R fazoning qism fazosi bo`ladi va u

L₁ va

L₂ fazolarning yig`indisi deyiladi.

^{Misol. R uch o`lchovli fazodagi barcha erkin vektorlarning chiziqli fazosi,} L₁

Oxy tekislikka parallel bo`lgan barcha erkin vektorlarning qism fazosi, L₂

esa Oxz

tekislikka parallel bo`lgan barcha erkin vektorlarning qism fazosi bo`lsin. U holda

L₁ ^va L₂

fazolarning yig`indisi R fazoning o`zidan, fazolarning kesishmasi esa

Ox o`qiga parallel bo`lgan barcha erkin vektorlar to`plamidan iborat.

3. 
   teorema. Chekli o`lchovli R chiziqli fazoning
   

L₁ ^va L₂

qism fazolarining

o`lchovlarining yig`indisi, ushbu qism fazolar kesishmasi va yig`indisini o`lchovlari yig`indisiga teng.

L₁ ^va L₂

3. 
   Chiziqli fazoni qism fazolarning to`g`ri yig`indisiga yoyish.
   

n o`lchovli R fazoning qism fazolari bo`lsin.

1-ta`rif. R fazo

L₁ ^va L₂

qism fazolarning to`g`ri yig`indisi orqali ifodalanadi

deyiladi, agarda R fazoning har bir x elementi yagona usul bilan

x x₁ x₂

^{ko`rinishda ifodalansa. Bunda} x₁

L₁ ^fazoning

x₂ ^esa L₂

fazoning elementi.

Bu hol

R L₁ L₂

ko`rinishda belgilanadi. Oxirgi tenglik R fazoning

L₁ ^va L₂

fazolarning to`g`ri yig`indisiga yoyilmasi deyiladi.

R uch o`lchovli erkin vektorlar fazosi,

L₁ ^{esa Oxy tekisligiga parallel bo`lgan}

barcha vektorlar fazosi

L₂ ^{esa Oz o`qiga parallel bo`lgan barcha vektorlar fazosi}

bo`lsa, u holda R L<sub>1</sub> va L<sub>2</sub> fazolarning to`g`ri yig`indisidan iborat bo`ladi.

Teorema. n o`lchovli R fazo

L₁ ^va L₂

qism fazolarning to`g`ri yig`indisidan iborat

bo`lishi uchun , ularning kesishmasi faqat nol elementdan va R ni o`lchovi

L₁ ^va

L₂ fazolar o`lchovlari yig`indisidan iborat bo`lishi etarli.

Endi n o`lchovli chiziqli fazoda bazis o`zgarganda koordinatalarni o`zgarishi

va bazislarni almashtirishni qaraylik.

e ,e ,...,e va ^{e1 ,e1 ,..., e1}

lar n o`lchovli R chiziqli fazodagi 2 ta ixtiyoriy bazislar

1 2 n ^{1 2 n}
bo`lsin. R fazoning ixtiyoriy elementi har ikki bazis orqali ham ifodalanadi. Faraz

qilaylik

^{e1 ,e1 ,..., e1} elementlar e ,e ,...,e

lar orqali quyidagicha ifodalansin:

^{1 2 n} 1 2 n

e¹ a e a e

...

a e ,

1 11 1

12 2

1n n

e

a

1
2 21^e1 ^a22^e2 ^...

a_{2 n}e_n ,
(1)

.......... .......... .......... .......

e¹ a e a e

...

a e .

n n1 1

n 2 2

nn n

21. 
    holda birinchi
    

e ,e ,...,e ^{bazisdan e1 ,e1 ,..., e1}

bazisga o`tish matritsasi

1 2 n ^{1 2 n}

quyidagi ko`rinishda bo`ladi:

^a11
^a12
...
^a1n

_A ^a21

...

^an1

^a22

...

^an 2

...

...

...

^a2 n

...

^ann

(2)

^{Bu matritsaning} d ^{determinanti noldan farqli ikkinchi bazisdan birinchi bazisga}

o`tish matritsasi B A matritsaga teskari matritsa bo`ladi. Ma`lumki, A matritsaga

teskari matritsa

A₁₁ / d

_B A₁₂ / d

...

A_1n / d

A₂₁ / d A₂₂ / d

...

A_{2 n} / d

...

...

...

...

A_n1 / d A_{n 2} / d

...

A_nn / d

^Aij

esa A matritsaning

a_ij elementining algebraik to`ldiruvchisi.

(1) ning birinchi tenhligini

^A1 j

ga, ikkinchisini

^A2 j

ga va hakazo n -sini esa

^Anj

ko`paytirib, so`ngra ularni qo`shib quyidagi tenglikni hosil qilamiz.

e¹ A

e¹ A

n

e (a A a A

....

a A )

1 1 j

2 2 j

nj i

i 1

1i 1 j

2i 2 j

ni nj

i ustun elementlarini mos j ustun algebraik to`ldiruvchisiga ko`paytmalari

yig`indisi i

j bo`lganda nolga tengligini hisobga olsak ( i j

da d ga teng)

Oxirgi tenglikdan

e¹ A
e¹ A e d

bundan

1. 
   1 j
   
2. 
   2 j
   

nj j

e

e

1
^ej 1

yoki

¹ ....

e¹ , j

1,2,..., n

n

2
_e ^A11 _e<sup>1

A</sup>21 _e¹

....

e¹ ,

1. 
   _d 1 _d 2 n
   

_e ^A12 _e<sup>1

A</sup>22 _e¹

....

e¹ ,

2. 
   _d 1 _d 2 n
   

(4)

e
.......... .......... .......... .......... ....

e

e

e
1 1

n 1 2

.... ¹

n
(4) formula

^{e1 ,e1 ,..., e1 bazisdan} e ,e ,...,e

bazisga o`tish matritsasi A matritsaga

^{1 2 n} 1 2 n

teskari matritsa orqali o`tishni ifodalaydi. Bu ^A matritsaga teskari matritsani A ¹

orqali belgilaymiz.

Bazis almashritganda koordinatalar orasidagi munosabat.

Maxsusmas (2) matritsa orqali

e ,e ,...,e ^{bazisdan e1 ,e1 ,..., e1}

bazisga o`tilgan

1 2 n ^{1 2 n}
bo`lsin. U holda bazislarni teskari almashtirishiga (3) matritsa mos keladi x

qaralayotgan R chiziqli fazoning ixtiyoriy elementi bo`lsin.

(x₁ , x₂ ,...,x_n )

esa uni

e ,e ,...,e

bazisdagi koordinatasi

(x¹ , x¹ ,...,x¹ )

esa

e¹ ,e¹ ,..., e¹

bazisdagi

1 2 n

1 2 n

1 2 n

koordinatasi bo`lsin, ya`ni

x x¹e¹

_x1_e1

...

x¹ e¹ x e

x e ... x e

1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n

e₁ ,e₂ ,...,e_n

lar o`rniga ularni (4) dagi ifodalarini qo`yib

x x¹e¹
_x1 _e1
...
_x1 _e1

x ( ^A11 e<sup>1

A</sup>21 _e¹
...
e¹ )

1 1 2 2

n n 1 _d 1 _d 2 n

x ( ^A12 e<sup>1

A</sup>22 _e¹
...
e¹ )
...

x ( ^A1n e¹
e¹ ...
e¹ ).

2 _d 1 _d 2 n n _d 1 2 n

Oxirgi tenglikdan