Vazirligi nizomiy nomidagi toshkent davlat pedagogika universiteti a. A. Normatov matematika tarixi

n

n

n
(a в)ⁿ aⁿ

C ¹a^{n 1}в

_С ²_an 2_в2

...

_С ^{n 1}_aвn 1 _вn

ko’rinishda ifodalab,

n

n

n

C

C
m m

^{n n} 1

C ^{m 1} qoida bo’yicha binominal koeffitsentlarni hosil qiladi.

n 1
Evropada bu usul Ruffini (1804) –o’orner (1819) nomi bilan ma’lum bo’lib, binomial

koeffitsentlar tablitsasini n 17 uchun 1544 yili Shtifelь hisoblagan.

Taqribiy ildiz chiqarish

q T² r T

, (T- butun qismi) formulasi

qadimdan ma’lum bo’lib, Koshiy ildizning istalgan natural ko’rsatkichli uchun for- mulani topadi. Bu usul asosida chiziqli interpolyatsiya usuli yotadi:

43

1

1
y agar

T ⁿ ; y T
x x r

2
(T 1)ⁿ ; y T 1 1

u holda

y y₁

(x x₁ ) T .

Bu usul Evropada XVI asr o’rtalarida paydo bo’ladi.

Algebrik masalalarni hal qilish uchun zarur bo’lgan sonlarning nisbati haqidagi bir qancha qoidalarni va sonlar ketma-ketligining yig’indisini topish usullarini ko’rsatadi.

а₁ q

- istalgan son, ya’ni:

q q²

q³ ... qⁿ

bo’lganda

S_n yoki

qⁿ q

S_n

q 1
qⁿ , q
1 uchun; agar q<1 bo’lsa, S_n formula bilan hisoblaydi.

Jumladan birinchi formulani quyidagicha bayon etadi: biror asosning ketma-ket da-

^{rajalarining istalgan yig’indisi} q q²

...

q^{n ni topishni istasak, oxirigi daraja} q ⁿ

asosga ko’paytirib ko’paytma qⁿ

q dan asosni ayiramiz, so’gnra ayirma

qⁿ q

q ni

asosdan bitta kam son q 1 ga bo’lganda izlangan yig’indi hosil bo’ladi.

Yoki 1²

₂2 ₃2

...

_{n 2} 2n 1

3

n 1 ²

n 1 _n;

2

₁3 ₂3

3³ ...

n³ n ; 2

₁4 ₂4

3⁴ ... n⁴

1 n(n 1) ₁

5 2

n(n 1)

2

n(n

1)(2n

6

1) _;

1 2 2 3

3 4 ...

n(n 1)

n(n

1)(n

3

2) _;

1 2 3

2 3 4

3 4 5

...

n(n

1)(n 2)

Ќar 1¹ oraliqda sinuslar jadvalini tuzish, yana 9 ta o’nli raqami bilan, borasida sin 1^o ni

hisoblash uchun

сos

4cos³

3

3cos

3

formuladan foydalanib

x³+0,7850393433644006=45x tenglamaga keladi.

Umumiy holda tenglamani quyidagicha taqriban hal qilish usulini ko’ramiz.

х³ D Px

x³ D

x ,

P

x – kichik, demak x³ – yanada kichik u xolda

х
x a y, a

a - birinchi yaqinlashish.
y

R – a³

tartibli bo’lib,

a³ u ga nisbatan katta.

U/x y

a³ R P

в ^S - ikkinchi yaqinlashish.

P

deb 2-bosqich takrorlanadi va hokazo.

44

Natijada x a

, x a в

, x a в с

,..., x .

1 _P 2 _P 3 _P n _P

3x²0 ning 17 ta aniq raqamini 60 lik sistemada topadi.

Ulu¼bek akademiyasining yana bir yirik namoyandasi Aloviddin Ali ibn Mux- ammad al - ªushchi. U 1402 yili Samarqandda tu¼ilgan. «ªushchi» uning taxallusi. Adabiyotlarda ko’`rsatilishicha, uning taxallusi qaqida turli xil farazlar mavjud. Shu- nisi aniqki, u juda qam ser¼ayrat bo’`lgan. O’zbeklar bunday kishilarni «Lochinga o’`xshaydi» deb atashadi. U boshlan¼ich ma’lumotni Samarqandda oladi, so’`ng o’`qishni davom ettirish uchun Kermonga ketadi. Sababi qali Samarqandda Jamshid al- Koshiylar yo’`q edi. 1416 yilning oxirlarida Samarqandga qaytadi va Ulu¼bek aka- demiyasida ishlay boshlaydi. O’zining ser¼ayratligi, bilimdonligi bilan atrofidagilar orasida juda tez qurmat qozonadi.

ªozi Zoda va Jamshid al- Koshiylarning vafotidan so’`ng rasadxonadagi ilmiy ish- lar butunlay Ali ªushchi zimmasiga tushadi. 1438 yili Ulu¼bek ªushchini Xitoy salta- nati xuzuriga elchi qilib yuboradi. Xitoydan qaytib kelgach u o’`zining «Matematik va astronomik jo’`¼rofiya» nomli asarini yozadi.

Ali ªushchining «Arifmetik risola» si, «Kasrlar qaqida risola» si va «Muqammadiya risola» si matematikaning muqim masalalari – arifmetik amallar, ularni bajarish tar- tibi, o’`nli kasrlar, ular ustida amallar, qozirda biz algebra darsliklariga kiritadigan qisqa ko’`paytirish formulalari, musbat va manfiy sonlar tushunchalari va boshqalar- ga ba¼ishlangan.

Ali ªushchining «Astranomiyaga doir risola» si bilan birga uning «Ulu¼bek zijiga sharq» asarlari astranomiya tarixida katta aqamiyatga ega. Ali ªushchi «Ulu¼bek zi- ji» ni geometriya teoremalari yordamida sharxlaydi va u bu asarga yozilgan sharxlar orasida eng yaxshisi qisoblanadi.

Tekshirish savollari:

1. 
   Ulug’bek akademiyasi bo’yicha nimalarni bilasiz ?
   
2. 
   Koshiyning "Arifmetika kaliti" asari haqida nimalarni bilasiz ?
   
3. 
   Samarqandda yana qanday allomalar ijod qilgan ?
   

7.