Ва φ векторлар устун координаталари орасидаги боғланиш. Чизиқли алгебралар

Чизиқли операторлар алгебраси ва матрицалар алгебралари
орасидаги изоморфизм (2 соат)

Режа:

1. 
   Чизиқли операторлар алгебраси.
   
2. 
   Матрицалар алгебраси.
   
3. 
   Чизиқли операторлар алгебраси ва матрицалар алгебраси орасидаги изоморфизм.
   

Адабиёт

1. 
   Назаров Р.Н., Тошпўлатов Б.Т., Дўсумбетов А.Д. Алгебра ва сонлар назарияси. I қисм. Т.: Ўқитувчи. 1993 й. (253-257 бетлар).
   
2. 
   Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. М.: Высш. школа. 1979 г. (стр. 301-302).
   

V фазо ℱ майдон устидаги вектор фазо бўлиб, лар шу вектор фазонинг чизиқли операторлари бўлсин. ва чизиқли операторлар кўпайтмаси қуйидагича аниқланган бўлсин, яъни

Лемма. V вектор фазонинг ихтиёрий иккита чизиқли операторлари кўпайтмаси яна шу вектор фазонинг чизиқли оператори бўлади.
Исботи. чизиқли операторлар V вектор фазонинг чизиқли операторлари бўлсин. У ҳолда кўпайтма V вектор фазонинг чизиқли оператори эканлигини кўрамиз. Ҳақиқатан, ва ℱ учун қуйидаги шартлар бажарилади:
1. , яъни бўлади.
2. , яъни бўлади. Демак, кўпайтма V вектор фазонинг чизиқли оператори бўлади.
Бизга маълумки Hom (V,V) тўплам ℱ майдон устида вектор фазо ташкил этади.
Ушбу алгебрани алгебра V вектор фазонинг чизиқли операторлар алгебраси дейилади ва қуйидагича белгиланади:
End V=
Теорема. Агар V фазо ℱ майдон устидаги вектор фазо бўлса, у ҳолда End V алгебра ℱ майдон устида чизиқли алгебра ташкил қилади.
Исботи. EndV алгебра чизиқли алгебра шартларини тўлиқ бажаради. Ҳақиқатан,

1. 
   алгебра ℱ майдон устида вектор
   

фазо ташкил қилади;
Бу тасдиқ олдинги маърузаларда исботланган.
2.
Исботи.

3.
Исботи.

4. Hom (V,V), ва .
Исботи.

Таъриф. U ва алгебралар ℱ майдон устидаги чизиқли алгебралар ва φ:U акслантириш биектив акслантириш бўлиб, қуйидаги шартлар бажарилса:

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   

у ҳолда φ акслантиришга изоморфизм U ва чизиқли алгебраларга эса изоморф чизиқли алгебралар дейилади ва у U кўринишда белгиланади.
Мисол. С₁ = < C, +, > - чизиқли алгебра, ; - чизиқли алгебра билан изоморф, яъни С₁ G₁ бўлади (бунда ).
Агар ℱ майдон устидаги матрицалар алгебрасини кўринишда белгиласак, у ҳолда қуйидаги теорема ўринли бўлади:
Теорема. V фазо ℱ майдон устидаги вектор фазо бўлиб, унинг базиси, М(φ) матрица V вектор фазода аниқланган φ чизиқли операторнинг базисга нисбатан матрицаси ва акслантириш мавжуд бўлса, у ҳолда End V M(n, ℱ) муносабат ўринли бўлади.
Исботи. Бизга маълумки, End V M(n, F) акслантириш биектив акслантириш бўлади.

1. 
   
   

Исботи. ,

2. 
   
   

Исботи. ( ,
,
.

3. 
   
   

Исботи.

Демак, таърифга асосан End V M(n, F) бўлади.

Текшириш саволлари

1. 
   Чизиқли операторлар алгебраси деб нимага айтилади?
   
2. 
   Матрицалар алгебраси деб нимага айтилади?
   
3. 
   Алгебралар изоморфизми ҳақида теорамани баён қилинг.
   

Таянч тушунчалар

1. 
   Майдон.
   
2. 
   Вектор фазо.
   
3. 
   Чизиқли операторлар.
   
4. 
   Чизиқли алгебра.
   
5. 
   Изоморфизм.
   

13-Маъруза