Ва φ векторлар устун координаталари орасидаги боғланиш. Чизиқли алгебралар

11-маъруза
ва φ( ) векторлар устун координаталари орасидаги боғланиш. Чизиқли алгебралар (2 соат)

Режа:

1. 
   ва φ( ) векторлар устун координаталари орасидаги боғланиш.
   
2. 
   Чизиқли алгебра ҳақида тушунчалар.
   
3. 
   Чизиқли алгебрага мисоллар.
   

Адабиёт

1. 
   Назаров Р.Н., Тошпўлатов Б.Т., Дўсумбетов А.Д. Алгебра ва сонлар назарияси. I қисм. Т.: Ўқитувчи. 1993 й. (253-257 бетлар).
   
2. 
   Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. М.: Высш. школа. 1979 г. (стр. 291-293, 298-300).
   

ℱ майдон устида V_n вектор фазо берилган бўлиб,
(1)
унинг бирор базиси ва φ оператор берилган V_n фазонинг чизиқли оператори бўлсин. ва φ( ) векторларнинг (1) базис орқали , кўринишда ифодалансин.
ва φ( ) векторларнинг (1) базисга нисбатан устун координаталарини мос равишда ушбу

кўринишларда белгилаб, улар орасидаги боғланиш формуласини келтириб чиқарайлик.
Теорема. Агар φ оператор V_n фазода аниқланган чизиқли оператор бўлиб, М(φ) шу φ чизиқли операторнинг (1) базисдаги матрицаси бўлса, у ҳолда  ∈V_n учун М(φ( ))=М(φ)М( ) тенглик бажарилади.
Исботи. Бизга маълумки, φ чизиқли операторнинг матрицаси

бўлса, у ҳолда
(2)
тенгликлар ўринли бўлади. Агар = бўлса, у ҳолда бўлади. Бу тенгликда ларни (2) даги қийматлари билан алмаштириб, тенгликни ҳосил қиламиз. Бундан келиб чиқади. φ(х) векторнинг устун координаталарига кўра

ҳосил бўлади, яъни М(φ( ))=М(φ)М( ) тенглик келиб чиқади.
Мисол. V₃ фазода векторларни базисга нисбатан мос равишда векторга ўтказувчи φ чизиқли операторнинг матрицасини топинг.
векторларни базис векторга ўтказувчи матрица
, векторларни базис векторга ўтказувчи матрица бўлади. Энди шундай М(φ) матрица топиш керакки, у А матрицани В матрицага ўтказсин, яъни қуйидаги тенглик бажарилсин:
Бундан М(φ)=ВА^-1 тенгликни ёза оламиз. Агар А га тескари матрицани топсак, у ҳолда яъни ҳосил бўлади.
ℱ сонлар майдони устидаги V чизиқли фазонинг исталган векторлари учун кўпайтириш қоидаси аниқланган деб фараз қилиб, лар кўпайтмасини шаклда белгилайлик.
Таъриф. ℱ майдон устидаги V чизиқли фазо элементлари учун қуйидаги аксиомалар бажарилса:

у ҳолда V фазони ℱ майдон устидаги чизиқли алгебра дейилади (Бу ерда F тўплам ℱ майдоннинг асосий тўплами).
Таъриф. Агар V чизиқли алгебрада аксиома бажарилса, V коммутатив чизиқли алгебра дейилади.
Таъриф. V чизиқли алгебранинг ранги деб V фазонинг ўлчовига айтилади.
1-мисол. C={a+bi | a,b∈R, i²=-1} тўплам R майдон устида ранги иккига тенг бўлган чизиқли алгебра ташкил этади.
2-мисол. барча n-тартибли квадрат матрицалар тўплами F^nxn, ℱ майдон устида рангли n² бўлган чизиқли алгебра ташкил этади. Бундай чизиқли алгебрани ℱ майдон устидаги тўлиқ матрицалар алгебраси дейилади.
3-мисол. R майдон устидаги кватернионлар алгебраси R майдон устидаги тўрт ўлчовли V₄ вектор фазо бўлиб, векторлар V₄ фазонинг базиси бўлсин. V₄ фазода кўпайтириш амали қуйидаги қоида асосида киритилади:
. У ҳолда V₄ фазо ранги 4 га тенг бўлган кватернионлар алгебраси бўлади.

Текшириш саволлари

1. 
   ва φ( ) векторлар устун координаталари орасидаги боғланишни ифодаловчи теоремани баён қилинг.
   
2. 
   Чизиқли алгебра деб нимага айтилади?
   
3. 
   Чизиқли алгебрага мисоллар келтиринг.
   

Таянч тушунчалар

1. 
   Векторлар фазоси ва унинг базиси, ўлчови.
   
2. 
   Чизиқли оператор ва унинг матрицаси.
   
3. 
   Кватернионлар.
   

12-Маъруза