Uzluksiz mexanikaning umumiy qonunlari va tenglamalari

 

2-bob.

Uzluksiz mexanikaning umumiy qonunlari va tenglamalari

  7. Umumiy qonuniyatlar va tenglamalar haqida qisqacha ma’lumot.

 Ushbu bobda, mustahkam bo'lib Quyon muhitlarga nisbatan, umumiy hisoblanadi, yoki universal etiladi. Sizni, shuningdek, barcha muhitlar, jismoniy "saqlash qonunlari" va ommaviy axborot vositalari, barcha turdagi holati va harakatini tasvirlab, natijasida to'g'ridan-to'g'ri mulk xususiyatlari uchun deb tenglamalar qaysi ular qondirishadi.

Nyuton mexanikasida bu qonunlar quyidagilar:

• 
  massani saqlash qonuni;
  
• 
  impulsning saqlanish qonuni;
  
• 
  burchak momentumining saqlanish qonuni;
  
• 
  energiyaning saqlanish qonuni (termodinamikaning birinchi qonuni);
  
• 
  entropiyaning saqlanish qonuni (termodinamikaning ikkinchi qonuni).
  

Bu integral odatda ham shakllantirish qonunlari (taklif kiritgan) o'lgan integrand butunlay final individual hajmi uchun shaklda o'rta, silliq funktsiyalari tomonidan tasvirlangan harakatda uchun, Zuko AQSh differensial tenglamalar bo'yicha Natijada saqlash, siz to'ldirish-yilda viloyat, har bir nuqta o'rta tomonidan egalladi. Maydoni yuzasi teshik Paramet bo'lsa teskari parametr bu bo'shliqlar saqlash qonunlari tufayli atrof-muhit istasangiz chaqirib, ba'zi munosabatlar tomonidan bog'liq emymi tœxtatilgandan yuzasida sharoitlar. Quyida doimiy qonuniyatlarning umumiy qonuniyatlari va tenglamalari haqida qisqacha ma'lumot berilgan. Batafsil, ular ko'rib lager ushbu bobning quyidagi bo'limlarda va boblarida 3 va 4.

Quyidagicha ham uzluksiz o'rta har qanday individual hajmi Universal "saqlash qonunlari" yozilgan quyidagi shaklda:

1. 
   massaning saqlanish qonuni: individual hajmning massasi doimiydir             
   
   
   

2) momentumning saqlanish qonuni: individual hajm momentining o'zgarish tezligi unga ta'sir qiluvchi tashqi kuchlar yig'indisiga teng.             

3) burchak momentumining saqlanish qonuni: individual hajmning burchak momentumining o'zgarish tezligi tashqi kuchlar va unga ta'sir etuvchi juftliklar momentlarining yig'indisiga teng.             

4) energiyaning saqlanish qonuni (termodinamikaning birinchi qonuni): individual hajmning umumiy energiyasining o'zgarish tezligi birlik vaqtiga tashqi energiyaning oqimiga teng ( tashqi kuchlar, issiqlik va boshqalar ishi ko'rinishida)             

 

5) qonun (termodinamiğin ikkinchi qonuni): entropiya individual hajmi butunlay o'zgarishi darajasi xlorid o'rta tashqaridan va vaqt birligi entropiya ishlab chiqarish hajmi ichki entropiya tushumlarini yig'indisi.

 

(7.1) - (7.5) haqida quyidagi qiymatlar: V - individual hajmi; £ - V hajmning chegarasi; n - tashqi normal; t vaqt; p va v - mos ravishda o'rta zichlik va tezlik; F - ommaviy zichligi EXT ularni bir o'rta bo'yicha harakat ommaviy kuchlari hajmi V nisbatan; p - sirt kuchlari sirt zichligi dei bajaruvchi chegara S boshiga; g - nuqtaning radius vektori; - ommaviy -hand ichki burchak momentining zichligi; h va Qn tashqi massa va sirt juftlari momentlarining massa va sirt zichligi; va s - ichki energiya va entropiyaning massa zichligi;  Naya va birligi vaqt, sof ishchi makroskopik kuchlari boshiga energiya oqimini ommaviy zichligi; des / dt - en oqimi yo'li vaqt birligi tashqi hajmi V; d {S / dt - Pro chiqarish vaqt birligida entropiya. Ushbu tushunchalarning barchasi keyingi paragraflarda batafsil muhokama qilinadi.

Silliq harakatlar uchun ushbu qonunlar quyidagi differentsial tenglamalarga tengdir:

1) uzluksizlik tenglamasi

 

 

 

4) energiya tenglamasi

 

5) entropiya tenglamasi

 

 

(7.10) quyidagi qayd - tenglamalar (7,6)  RGZ - stress tenzor komponentlar; Vj - kovariant hosilasi; er - asos vektorlari; B13 - komponentlar nuqtalari Zo'r stress lahzani; q * 3 - energiya oqimi vektorining tarkibiy qismlari (makroskopik kuchlar ishlamasdan); sJ - bu entropiya oqimi vektorining tarkibiy qismlari; pdesM? LCC / dt - VjS3 - vaqtning massa birligiga tashqi tomondan entropiyaning kirib kelishi; d {s / dt - bu birlik vaqtiga entropiya ishlab chiqarishning massa zichligi.

∑_d sifatida saqlash umumiy qonun (7.1) dan quyidagicha Ajratilgan yuzasi tœxtatilgandan kuni har bir nuqtada - (7.5), quyidagi munosabatlar, holati ma'lum viyami Süreksizlik yuzasida:
Bu erda indikslari 1 va 2 vaqti parametr qiymatlari bilan belgilangan Nye funt yon sinish yuzasi; n - Ea 1 ga yo'naltirilgan normal normal vektor.

Status (7.11) - (7.15) yuzasi maydoni darajasi qaysi yozuvlar nisbatan "o'z" doirasida yozilganning yuqori ustida ko'rsatilgan, bu vaqtda yuzasida berilgan nuqtasi uchun tanaffuslar D, M va V n orqali nolga teng Nostnye zichligi £ va tashqi o'rta vazn irmoqlari miqdori kuchlari harakati, burchak momentum va Ener uchun Gies, zichligi tarqatish to'g'risidagi £ va (qismlarda tufayli bir sakrash orqali o'tish ortga qaytmasligining tufayli issiqlik va massa, shuningdek entropinin o'sish tashqi oqimining entropiya o'zgarishlar - Q zu vaqt) Evropa Ittifoqi va termodinamika Q ^ 0 ikkinchi qonuniga ko'ra tashqi issiqlik balansi va massasiga, da.

8. Massaning saqlanish qonuni. Uzluksizlik tenglamasi

Uzluksizlik tenglamasi massani saqlash qonunining natijasidir. Uni turli shakllarda yozish mumkin. Euler bilan Von harakat ishlatiladi shakli (8.1) yoki (8.2) tasvirlab:

 (8.1)             

(8.2)             

Lagrangian tavsifida (8.3) - (8.7) shakllaridan biri ishlatilishi mumkin:

(8.3)             

bu erda div v qo'shilgan Lagrangian koordinatalariga nisbatan hosilalar orqali aniqlanadi.

(8'4)             

qayerda po, P - zichligi, xx, xx - fazoviy koordinatalari sizga boshlang'ich va yakuniy (joriy) individual nuqtasini XI Shtatlar - XX (X3, t);

(8.5)             

bu erda, Old hisobotga o'tish - metrik qismlariga bir yilda tenzo’rlari boshlang'ich koordinata tizimi va

 

(8.6)             

bu erda Ik (lar), h (e) formulalar tomonidan belgilangan Green yoki Almansi okreda tenzorlarining o'zgaruvchan kuchlari.

Boshqa tenzorlar kuchlanish tenzorlari sifatida ishlatilganda, mos ravishda doimiylik tenglamasining boshqa shakllari olinadi.

sıkıştırılamaz ommaviy axborot vositalari uchun an'anaviy chambarchas tenglama NoSta incompressibility holatini chaqirdi

 

(8.8)

 

Siqilmaydigan muhit uchun massani saqlash qonuni dp beradi

(8.9)

 

Vazifalar

 

8.1. V ning harakatlanuvchi hajmi bo'yicha integral vaqtiga qarab farqlash formulasini oling             

 

 

V V E qaerda VN - loyiha cheklovchi E sirt tezligini ishora temir E. uchun tashqi normal kuni, hajmi V yakuniy Nepo uchun massasi saqlash qonunini yozing IG Petritskaya fazoviy hajmi orqali suyuqlik oqimi.

a) o'zgaruvchilar Hey ham uzluksiz tenglamani Derive Leroy ommaviy individual hajmining saqlash qonunidan.

b) dp / dt va div v ifodalarini aniqlab, uni Karteziya koordinatalari tizimiga yozing.             

c) Koordinata tekisliklariga parallel ravishda yuzlari bo'lgan to'rtburchaklar parallelepiped shaklida kichik hajm uchun massa balansini hisobga olgan holda yana ushbu tenglamani chiqaring: massaning sobit fazoviy hajmdagi o'zgarishi uning yuzasi bo'ylab oqayotgan massaga tengdir.             

bu div v (= VTV) teng tezlik nisbiy isbotlash bilan baravar tezlik V bilan harakatlanayotgan, o'rta nuqtasi kichik mahallada hajmi o'zgarish

bir vazifani (p bor bo'lsa harakat salohiyati deb ataladi v = grad Chr chambarchas tenglama yozing bunday UCHUN A salohiyati (p uchun tenglama shaklida sıkıştırılabilir va sıkıştırılamaz o'rta salohiyati harakatga.

8.6 Eyler o'zgaruvchilaridagi doimiylik tenglamasini oling             

a) silindrsimon koordinatalar tizimida;             

b) sharsimon koordinatalar tizimida,             

elementar koordinatalar hajmining massa balansini hisobga olib, sek. 8.1.

a) b)             

Shakl 8.1.

8.7 Tezlik vektorining fizik tarkibiy qismlaridan foydalanib, ixtiyoriy egri chiziqli ortogonal koordinatalar tizimida Eyler o'zgaruvchilaridagi doimiylik tenglamasini yozing.   

a) silindrsimon koordinatalar tizimida,             

b) sferik koordinatalar tizimida.             

8.8 Tekislik, silindrsimon va sharsimon simmetriya bilan bitta o'lchovli harakatlar uchun doimiylik tenglamasini yozing. Bunday harakatlar bilan barcha parametrlar faqat bitta fazoviy o'zgaruvchiga bog'liqdir r va vaqt, va sirtlar r = const birinchi holatda samolyotlar, ikkinchisida - silindrlarda, uchinchi - shar shaklida; bundan tashqari, tezlik uchun, faqat koordinata chizig'i bo'ylab joylashgan komponent nolga teng. Har qanday shaxslar tengligi sharti massasini foydalanish 8,9 o'lchamli boshlang'ich va yakuniy davlatlarda hajmi tenglama olmoq nenie shakllari (8,4) bilan Lagrange o'zgaruvchilar izchilligi va (8,5), bu bo'limda boshida berilgan.

8.10 o'zgaruvchilar Lagrange yilda uzluksiz tenglamani Derive Ms o'zgaruvchilar tenzorü qotirmang bilan zichligi o'zgarishi o'rtasidagi shakllarda (8,6) va (8,7). Ular mos ekanligini ko'rsatadi berilgan LINEAR kichik deformatsiyalar taqdirda.

8.11Techa mavjud bo'lgan bir hil qatlami sıkıştırılamaz suyuqlik uchun cheklangan ■ bilan bir tomonida sobit o'tkazmaydigan pastki boshqa tomondan z ~ -h {x), - z = erkin yuzasi ((x, £), x, y, z - Kartezyen Tekislik oqimida uning barcha xarakteristikalari bitta yassi koordinatasiga bog'liq emas y va vy = 0. Vx = vx (x, t) chuqurlikdagi zx o'rtacha tezligini kiritib, ma'lum bo'lgan holda () (x, t) tenglamani olamiz. bilan, hajmi massasi saqlash qonunini hisobga olgan holda bundan mustasno ikki eng yaqin xoch-bo'limlarda.

8.12 Kuchsiz deformatsiyalanadigan devorlari bo'lgan trubkada B (xL) tasavvurlar maydoni asl So (x) = S (x, 0) dan kam farq qiladi , bu erda x - quvur o'qi bo'ylab koordinata, kuchsiz siqiladigan suyuqlik oqimi , zichlik p (x) , t) po = const dan oz farq qiladigan . Quvurlar o'qi bo'ylab v tezligi kesishgan holatda bir xil va v0 (x) = va (x, 0) dan ozgina farq qiladi deb faraz qilsak, ikkita yaqin ko'ndalang orasidagi suyuqlik massasini hisobga olgan holda chiziqli uzluksizlik tenglamasini tuzamiz. bo'limlar va bu hajm ichidagi massaning o'zgarishi.             

8.13. V ning harakatlanuvchi hajmi             

 

 

8.14 Agar tezlik vx va v komponentlari Karteziya koordinatalari z va vz - 0 dan mustaqil bo'lsa, oqim tekislikka parallel deyiladi .             
Tezlik maydoni bilan tekislik-parallel oqim berilgan

u erda x, y, z - Kartezian koordinatalari, r = h / x2 + y2. Ushbu maydon siqib bo'lmaydigan muhitning tezlik maydoni ekanligini isbotlang.

8.15 Ba'zi tekislik-parallel oqimda,             

 

Agar bilsangiz, oqimi butlovchi VY butun topish, bu yahudiy bilan bir suyagi Oqim r = 0 tashqari, hamma joyda mumkinligini ko'rsating. salohiyati yav orzu o'rnatish uchun doirani - bir monand vazifasini va yo'l.

birida bir sıkıştırılamaz o'rta yoki cheklangan maydon harakat potentsial ulangan bo'lsa, t. E. V = Grady?, tezlik dala v noyob normal tomonidan belgilanadi, deb 8.16 Show xlorid tezlik butlovchi e'tibor r ostida mintaqada chegaralari da VN \ r, V, giyohvandlik vn \ r chiziqli. Shunday qilib, bu holda tezlik maydoni to'liq kinematik tomonidan aniqlanadi va tashqi kuchlarning ta'siriga bog'liq emas.

 

 

 

9. Stress tenzori

Kuchlarni tavsiflashda men harakat qilaman -                           

yuzasida qaynoq, sanchiladi zichligi / n             

yuza kuchlari -

stress chegarasi sifatida. rp
sirt kuchi AV, / I             

I / normasi bilan saytda ishlash             

kichik n, uning maydoniga Ha, qachon J             

Koch stress tenzor bilan R tenzor qismlariga nomli Tammy formula bilan hisoblab mumkin komponentlari bilan stress vektor pn berilgan nuqtada normal n bilan joylarda uchun PRN bunday ptJ

. (9.1)             

Bunday Tenzorü mavjudligi uchun saqlash qonunidan quyidagi lichestva harakati. O'rta muhitning Lagrangian tavsifida, pn stress vektori o'rniga, pn formulasi bilan bog'liq nominal kuchlanish vektori * rPo ishlatiladi.

 (9.2)             

bo'lib, da0 va da, N0 va n - e'tibor shaxslar ostida maydoni xlorid Boshlang'ich maydoni va oldin va deformatsiyalar keyin unga normal ta'lim. Shunday qilib, tgPo - bu saytni bir nuqtaga etkazishda, saytda harakat qiladigan kuchning uning deformatsiyaga qadar bo'lgan maydonga nisbati. ham Tenzor kiriting valentlik munosabatlari bilan belgilanadi Piola-Bunsen komponentlarini nlJ,

(9.3)             

bu erda boshlang'ich holatda normal uchun tarkibiy qismdir. Lagrangian koordinatalar tizimidagi Koshi va Piola-Kirxoff kuchlanish kuchaytirgichlarining tarkibiy qismlari qonun bilan bog'liq

 (9.4)             

qayerda p va p - zichligi va v - boshlang'ich va deformatsiyasi davlat ichida Lagrange muvofiqlashtirish tizimini asosi vektor s, va

(9.5)             

bu erda w - joy almashtirish vektori.

Lagrange koordinatalari faqat boshlang'ich koordinatalari bo'lsa ordinatalari kartezyen kosmosda (x {), haqiqiy formulada x {ball

da kelgan burchak momentining saqlash qonunidan huzurida ichki damlarda va moment chiqish o'zaro Cauchy stress Tenzor simmetriya

stress tenzor Piola-Bunsen odatda unsymmetrical Trichen.

 

 

Vazifalar

 

9,1 gorizontal Shero Howat da bilan samolyot harakat doimiy tezlik nuri. Og'irligi bru go'sht 1 kgs, 0.3 haqida ishqalanish kulo Novak samolyot koeffitsienti hisoblanadi, 0.02 m2 yog'och tayanch maydoni hisoblanadi. CA ustida stress bo'lgan vektor topish STI berilgan joylashgan samolyot lahzada bir bor.

 

Shakl 9.2.

 

9,2 bo'lsin p - saytlar perpen da stress vektor dikulyarnyh bir XR koordinatalar sistemasini Perpendikulyar koordinata.

a) Kattining kuchlanish tenzor pxK komponentlari orqali pr vektorlarning Natti ifodalari             
b) Karteziya koordinatalari tizimidagi kuchlanish tenzorining p12 komponentining fizik ma'nosi nima ?             
c) ixtiyoriy koordinatalar tizimida x1 = const koordinatali maydonlardagi p * r kuchlanish vektorlari shaklga ega ekanligini isbotlang.             

 

 

 

r ustida hech qanday xulosa yo'q.

d) vektorlarning fizik tarkibiy qismlarini ifoda eting p * r ( silindrsimon koordinatalar tizimidagi
birliklar tarkibidagi komponentlar             

RGK stress tenzorining tarkibiy qismlari orqali

a) Kuchlanish formulasini (9.1) aniqlaydigan harakat momentumini saqlash qonunidan kelib chiqing; b) tashqi kuchlarning zichligini taqsimlashda va (9.1) formulani olish uchun zarur bo'lgan tezlanish maydonida qanday cheklovlar mavjud?

harakat miqdori farq ko'rsatish saqlash qonunidan xachir Piola Kirch-Hoff tenzor stress aniqlash (9,3).

a) Koshi kuchlanish tenzorining tarkibiy qismlarini Piola-Kirxoff tenzorining tarkibiy qismlari bilan bog'laydigan lotin formulalar. b) Agar boshlang'ich La Grange koordinatalar tizimi kartezian bo'lsa tgk1 tarkibiy qismlarining mexanik ma'nosi nima?

burchak momentining saqlash qonunidan (qarang. nisbati (7,3), (7,8) va § 12) sharti bilan VNU ishqalanish uchun harakat miqdori taqsimlash va daqiqalarini moment JUMLADAN juft A, Q ahamiyatsiz, stress Tenzorü ning simmetriya ko'rsatish xususiyati.

tanasi B tik kartezyen bir nuqtada tizimi o'z stress tenzor komponenti tomonidan belgilangan koordinata E (Paskal tilida):

 

rp vektorining tarkibiy qismlari, shuningdek tangens rpp va normal rpp kuchlanishlarining qiymatlari. Rp va n orasidagi burchakni toping.

9.8 Karteziya koordinatalari tizimidagi M nuqtada, stress tenzorining tarkibiy qismlari matritsa tomonidan berilgan

9.9 pn va pn1 kuchlanish vektorlari n va P1 normal bo'lgan joylarda M nuqtada ishlaydi. ning tenzor agar ko'rsatish stress simmetrik, so'ngra PNNI = rP1P amalga.

9.10 Tenzor p ning asosiy koordinatasi bu erda Kartezian ortogonal koordinatalar tizimi

Uning tarkibiy qismlari

RP = R3 R22 = R2, RZZ = RZ

Bu tizimda asosiy komponentlar deb atalgan va rahbarlari oqlari xlorid tizimi - tenzor p vazifaga 2.14 sm asosiy oqlari

a) Stress tenzorining asosiy o'qlariga perpendikulyar bo'lgan maydonchalarda, stress vektorlari normal bo'ylab yo'naltirilganligini ko'rsating.             

b) Stress tenzorining asosiy o'qlari va asosiy tarkibiy qismlari ma'lum bo'lsin. RPP normal kuchlanishining haddan tashqari kattaroq bo'lgan joylarini toping. (Pnn) max va (pnn) min qiymatlarini toping.             

Ba'zi nuqta M splo uchun 9.11 yuzasi keskinliklarni shnoj o'rta chaqirdi tenzor yuzasi tenzor masalan zheny p - nuqtalari kartezyen uchun makon topgan bo'ladi muvofiqlashtirish pijxlx3 = qondirish x const, qaerda p - yilda nuqta M yilda tenzor R (xt) komponentlari.

stress ball AKK sirt shakliga aniqlash qatorlar tik de stress tenzor qismlariga kartezyen quyidagicha koordinata tizimlari:

a) p - p22 = P3z = P, R = j uchun Pij = 0 - p> 0 ga kengayish yoki p <0 ga siqish;             

b) pc = p, qolgan pij = 0 - p> 0 darajasida universial kuchlanish yoki p <0 da siqishni;             

c) pi2 = P21 = m, qolgan p ^ = 0 oddiy siljish;             

d) pc = A, p22 = B, p3z - C, p ^ - 0 uchun i ^ j - stress tenzorining asosiy o'qlaridagi eng umumiy shaklning stress holati . A, B va C belgilariga qarab stress yuzasining turini o'rganing .             

4 K. 2368 dan yuqori

9.12 a) Show deb ham mol yuzasi kuchlanish uchun ni zheny, radius-vektor bilan yuzasi nuqtasida 9.11 sm muammo. Rum vektor uchun g parallel stress kursi bilan saytida quyinglar n - z / | z | uchun qarang .. 9.3.

Shakl 9.3. b) geometrikdan foydalanish             

ijro etish xususiyatlari poverhnos daqiqa stress, har bir nuqtada stress tasodifiy davlat uchun, uch o'zaro perpendi borligini ko'rsatadi , P2, molekulyar sazovor Istanbul, P3, shunday

c) C komponentlarini yozing Cj = rij.             

d) agar rn || bo'lsa, buni ko'rsating n uchun n, keyin tenzor yuzasi sfera bo'ladi. Bu holda tenzor p sferik deb ataladi.             

9.13 Karteziya koordinatalari tizimida M nuqtasida kuchlanish kuchaytirgichining tarkibiy qismlari quyidagicha:             

a) Stress tenzorining asosiy komponentlarini va asosiy o'qlarini aniqlang .             

b) Stress tenzorini to'p tenzori va deviatorining yig'indisiga ko'paytiring, 2.12-muammoga qarang.             

9,14 yilda bir nuqtada simmetrik stress tenzor tizimini muvofiqlashtirish tik bir Kartezyen qismlariga ega seni qadriyatlar ayrim xususiyati qiymatlari tayinlangan qaerda NIJ kuchlanish Ro va o'lchamsiz shaklida berilgan.

masalan, tenzor mumkin asosiy komponentlarini aniqlash yuzaga asosiy o'qlari va foydalanib o'zgarishlarni yozish torogo asosiy o'qlari o'tkaziladi.

9.15 tenzor qismlari masalan, zheny tik kartezyen r hidroklorik tizimi (x1) muvofiqlashtirish tomonidan berilgan

           

kichik r va 0 7G f Bu asimptotik formulalari, ifodalar gips mashhur tirqishida oxirida yaqin stress Tenzor, gerilebilir simmetrik normal yuk tekis taqdirda, masalan, uning bo'yida qo'llaniladigan -conjugated davlat.

P1 ning asosiy qiymatlarini toping? P2, ps tenzor p va fazoda uning asosiy oqi yo'nalishini, xususan shakli olish Lu o'qi x1 PR eng yuqori uchun mos keladigan Tilt va asosiy yo'nalishini.

9.16 a) tenzor masalan asosiy tarkibiy qismlari orqali Burn zheny uning quyidagi o'zgaruvchilar

=batafsil,

b) Har qanday tenzorni buzuvchi uchun 12 invariant ijobiy emasligini isbotlang.

9.17 Ushbu nuqtada stress tenzorining asosiy tarkibiy qismlari orqali normal n va M nuqtada normal bo'lgan tanadagi kuchlanishni ifodalovchi formulalarni oling. tenzor asosiy o'qi hisoblanadi ma'lum loyiha vektor n pa urg'u beradi.

9.18 Oktaedral uchastka stress tenzorining asosiy yo'nalishlari bilan teng burchakka ega bo'lgan sayt deyiladi. Undagi stress vektorining normal komponenti Ji / 3 ga teng ekanligini ko'rsating, bu erda / x stress tenzorining birinchi invariantidir. Oktaedral sohada (oktaedral kesish stresi) tebranish kuchini ko'rsatib bering             

bu erda I2d - stress tenzorining ikkinchi o'zgaruvchisi; Pi) P2, Pz stress tenzorining asosiy qiymatlari.

9.19 a) Maksimal tangensial kuchlanishlarni aniqlang , agar ular shu nuqtada asosiy o'qlar va asosiy tarkibiy qismlarning yo'nalishlari ma'lum bo'lsa, Ppt max va ular shu nuqtada harakat qiladigan joylarning yo'nalishini aniqlang .             

b) Asosiy zo'riqishlarning kattaligiga teng bo'lgan maxsus hollarni ko'rib chiqing .             

c) asosiy kuchlanishlar oralig'ida plastmassa materiallar uchun naycha hosil qiladigan sirt hosil qiling.             

samolyotlarida uchun kelib chiqishi masofa generatorler Ustlari yuzasi va kesimini SVOCs Yuzasiga suyak tik chiziq p \ = p2 = RH va kelib chiqishi o'tib.

Dastur LOAD oldin 9.20 Ki to'g'ri burchakli parallelepipe - tana bir novda shaklini edi va chet uzunligi bir, 6 va c bilan. Ikki qarama-qarshi uchiga

L ^ qo'llaniladigan sirt kuchlari             

Shakl 9.5.

natijasida bilan teng E va R -P deformatsiyalarga uchramagan davlat tomonlarini bilan bir chiziq parallel birga bajaruvchi; qolgan yuzlar stresssiz, ommaviy kuchlar yo'q. Bu stress-de shakli bir davlat cho'zilgan oddiy deyiladi.

Piola-Kirxoff stress tenzorining koordinatalardan mustaqil ekanligi ma'lum bo'lsin.

a) Piola - Kirkxof tenzorlari tanasining chegaralarida qanoatlantiradigan shartlarni yozing.         
b) Piola-Kirkxof kuchlanish kuchlanishini toping.             

c) Koshining stress tenzorini topish uchun nimani bilishingiz kerak?             

d) cho'zilgan tanasi o'zboshimchalik tasavvurlar shaklidagi tekis silindr bo'lsa, ko'ribchiqing .              
Shakl deyarli 9,6 a) va b) boshlang'ich va deformatsiyasi bilan namoyishlari tanasi yilda Rowan davlatlar. Tenzor komponentlar Piola-Bunsen: a ^ = 7Hz 0, qolgan 7r; j = 0. birga barcha masalan bilan deformatsiyasi davlat organi, agar ular o'zgartirish qanday zheniyami va shtammlarini £ 3 tizmasiga bir chiziq parallel haqida burchagini 7r / 2 o'girib rasmga qarang 9.6 c)?

SLE o'z orientatsiya qarab, turli saytlar normal va qirqish stress buyukligini topish choy sm. 9.20 vazifani cho'zilgan oddiy yog'och. maydoni ko'ndalang kesimi Quyon yog'och tugaydi bir xil yuk F. normal va tangensial stress maksimal qiymatini va ularning tegishli pad topish taqsimlanadi, 5.

a) Suyuqlikning ideal modelini aniqlashga kiritilgan (1) va (2) gaplarning tengligini aniqlash:

(1) ideal suyuqlikda, stress tenzori sferik, ya'ni prz = –pglJ, bu erda p - skalyar;

har qanday maydonchasi da mukammal suyuqlik stress vektoriga (2) ke deb saytga normal parallel.

b) Agar biron bir joyda tangensial kuchlanish bo'lsa, suyuqlik dam ololmaydigan vosita deb ataladi. Suyuqlikda dam olish paytida pgz = -rpz ekanligini ko'rsating.

10. Harakat va muvozanatning differentsial tenglamalari

 

Momenti saqlash qonunidan tashqari haqiqat sous dan -existence differensial olingan tenzor stress tenglamalarni harakati (yoki muvozanat bo'lsa V = 0) - domeni STI, atrof-muhit, davlat silliq funktsiyalari tomonidan tasvirlangan.

Eyler koordinatalari sistemasini yoki Lagrangian birlashtiruvchi tizimni ishlatganda (asosi e bilan), bu tenglamalar quyidagi shaklga ega

 
bo'lib, RGCs - Cauchy stress tenzor komponentlar, Arg - gips nz tezlashtirish vektor a.

dastlabki foydalanganda Lagrange tizimini muvofiqlashtirish keskinlik (asos {A bilan), harakat Tenglama sifatida yozilgan bo'lishi mumkin

(10.2)             

bu erda ro - muhitning boshlang'ich zichligi; wl va Gg - eg asosidagi siljish va massa kuch vektorlarining tarkibiy qismlari; SCC - Bunsen-ba in Piola stress tenzor komponentlar zise {e.

 

Vazifalar

harakatga Hey termoq olmoq lerovom momenti saqlash qonun tavsifi. Ularni tarkibiy qismlarga o'zboshimchalik koordinatalari tizimida va Karteziya ortogonal tizimida yozing.

a) Ag va tezlik vk tezlanish komponentlari hamroh bo'lgan Lagrangian koordinatalar tizimida qanday bog'liq?

b) Lagrangian koordinatalar sistemasida * harakat tenglamalarini yozing.             

c) Vkplk va ar qo'shimchalari tizimidagi valentlik tenzorining tarkibiy qismlarining hosilalarini o'z ichiga olganligini ko'rsating.             

harakat differensial tenglamalarni qiling rajasini muvofiqlashtirish Lagrange tizimi.

Karteziya koordinatalaridagi kuchlanish kuchlanish maydoni matritsa tomonidan berilgan

= const. \ 0 2z2j J haqida

Berilgan zichligi p bo'lgan muhit muvozanatda bo'lishi uchun qanday massa kuchlari bo'lishi kerak?

Kartezyen Tenzor kuchlanish bo'lsin NIJ komponentlar PQ = -rdh + (b (y, z) ega, boshqalar nol pij bor; zichligi p = const, d = const Find ommaviy kuchlari, u o'rta muvozanat ekanligini ma'lum bo'lsa.

Berilgan zichligi p bo'lgan statsionar muhitdagi kuchlanish tenzorining tarkibiy qismlarining matritsasi shaklga ega

bu erda a, b, c doimiy qiymatlardir. RGZ a) Kartezyen bilan Tenzorü ning contravariant komponentlar mavjud bo'lsa, ommaviy kuchlarini topish chinqirgancha; b) silindrsimon; c) sferik koordinatalar tizimlari.

10.7 a) Stress tenzori statsionar suyuqlikdagi to'p stressi ekanligidan foydalanib, suyuqlik uchun muvozanat tenglamalarini tuzing, ya'ni muammoga qarang.             

b) Agar F rot 0 aylantirilsa, massa kuchlari maydonida F har qanday suyuqlikning muvozanati mumkin emasligini isbotlang.

parda - bu bilan emas juda ham nozik bir film protivlyaetsya engashib, lekin mustahkam cho'zilgan. ustida bir hil bir xil cho'zib membrana kuchlanish T bo'lsin kema vertikal yuk darajasi birlik sohada Q, Z o'qi eksa x va y va boshlanishi, pastga vertikal qaratilgan birdan koordinatalari dastlabki gorizontal Mem ham olinadi brane. T kuchlanishni w dan mustaqil deb faraz qilib, membrananing w (x, y) kichik vertikal egilishi uchun tenglamani keltiring.

tanasi faqat ta'siri ostida muvozanat bo'ladi yuzaki kuchlar.

a) 

qayerda o'zboshimchalik etarli marta differentiable erentiable funktsiyasi. Ko'rish muvozanat tenglama qondirish deb zolimlardir, agar

bo'lsin , agar muvozanat tenglamalari qoniqarli ekanligini ko'rsatsak             

siz topishingiz mumkin orqali FZ, barcha komponentlar * i * funktsiyasi sizga tenzor shunday bir xil muvozanat tenglamalar ta'kidlash davlat uchrashdi, stress funktsiyasi deb ataladi.

 

10.10 Agar massa kuchlari yo'q bo'lsa, tekislik stress holati holatidagi muvozanat tenglamalari (faqat RP) Pn va p22 nolga teng emas va ular faqat x va y ga bog'liq) bizga Erie stress funktsiyasini (f (x, y) joriy etishga imkon beradi. shunday

O'zboshimchalik bilan uch marta farqlanadigan funktsiya U va shu sababli kuchlanish kuchaytirgichining tarkibiy qismlari uchun muvozanat tenglamalari bir xil darajada qondiriladi.

10.11 Shu joylashgan Let vesii silindr tayoq, Koto ing harakat faqat amaliy majbur Nye vypol barcha nuqtalarda, uning oxirida Nena tenglik

Ortogonal Kartezian o'qlari .t, y va z 10.1-rasmda ko'rsatilganidek tanlanadi; tashqi ommaviy kuchlar ta'sir qilmaydi. Buni ko'rsating

a) T (x, y) stress funktsiyasi mavjud

 
kiritilishi barcha muvozanat tenglamalarini qondirishga olib keladi;

b) holat pn - 0 novda lateral yuzasida dT / ds = 0 holatiga tekislikdagi kesmaning konturi bo'ylab kamayadi (g; y), bu erda s - kesma konturi yoyining uzunligi;             

c) agar novda yuqorida aytib o'tilgan stress holatiga ega bo'lsa , unda har qanday kesishishda harakat qiluvchi kuchlarning asosiy vektori nolga teng va bu qismda harakat qiluvchi kuchlarning asosiy momenti momentga tushiriladi.             

uzluksiz o'rta qavat harakatini umumiy tenglamalar boshlab chaqaloq tenglama Hey - ideal suyuqlik harakati tenglamalar Leroy. Belgilanganidek, ideal suyuqlikda, stress tenzori shaklga ega

saqlash qonun qo'llash orqali Euler tenglamalarni qiling Niya bir ideal bir individual hajmi V trafik miqdorini tashkil suyuqlik.

Barotropik harakat uchun, ya'ni zichlik p faqat bosim p ning funktsiyasi bo'lsa, potentsial massa kuchlari sohasida Euler tenglamalarini Gromeki-Lamb shakliga o'zgartiring.

bu erda w - ^ rot v - aylanma vektor, U - massa kuchlarining potentsiali,

bosim funktsiyasi deb ataladi, po ba'zi bir doimiy.

10.15. Ideal suyuqlikning harakati barqaror bo'lsin, tashqi massa kuchlari (F = gradf /) potentsialga ega. Keyingi bu holatda harakati Euler tenglamalar ekanligini ko'rsatish muhim             

Bernoulli integral deb ataladi, bu erda C = konstens £ chizig'i bo'ylab,

agar C oqim yoki burilish chizig'i bo'lsa; V {p, C) -

Bosim funktsiyasi turli oqimlar yoki burilishlar uchun farq qiladimi, agar harakat barotropik bo'lmasa, 10.14 muammoga qarang. Jon yozing ajralmas bir tortishish sohasida sıkıştırılamaz suyuqlik harakatda uchun Bernoulli.

10.16 Ideal suyuqlikning harakati potentsial bo'lsin, ya'ni v = grady ?; tashqi massa kuchlari potentsialga ega, F = gradf /; harakat barotropik, ya'ni zichlik p faqat p bosimiga bog'liq . Eyler tenglamalari Koshi-Lagranj integraliga ega ekanligini isbotlang             

 

 

bu erda V - bosim funktsiyasi, o'zboshimchalik funktsiyasidir.

10.17 Ixtiyoriy ortogonal koordinatalar tizimida Euler o'zgaruvchilaridagi tezlanish tarkibiy qismlarining formulalarini isbotlang.             

ga qadar aniqlik yo'q.

Kuzatuvchilar tizimining asosiy vektorlari vaqtga bog'liq emas.

10.18 Eyler tenglamalarini silindrsimon va sferik koordinata tizimlarida yozing.             
10.19 Chiziqli viskoz izotrop suyuqlikda, stres p va zo'riqish tezligining tenzorlari qonun bilan bog'liq             

bu erda p - bosim; gij - metrik tenzorning tarkibiy qismlari; J \ (e) = ekigkl - birinchi invariant tezligi tenzor deformatsiya matsy; Hades - yopishqoqlik koeffitsientlari. A = const, p = const, harakat L tenglamalarni olish va uni hech-qayrag'och Coy suyuq, deb faraz STI shaklida Navier-Stokes tenglamalar DV

p - - pF - gradp + ( A + p ) graddiv v + pAv.

 10.20 Kichik nisbiy joy almashishi bo'lgan chiziqli elastik izotropik muhitda p kuchlanish tenzorlari va kichik deformatsiyalar Hooke qonuniga bo'ysunadi             

bu yerda J \ (e) - £ k, igkl, Ai va p \ - bu koeffitsientlar (Lame parametrlari). Ai = const, Piy = const, harakat tenglashishi olish deb faraz Nia Lame tenglamalar shaklida chiziqli-elastik o'rta joy almashtirish vektori.

qavat harakatda umumiy tenglamalar dan 10,21 uzluksiz o'rta chaqaloq kinetik energiya tenglama Ekin individual o'zgartiradi dual uzluksiz o'rta hajmi V - "jonli kuchlari teoremasiga":

            

Bu yerda DAW / dt, dA® / dt - tashqi va VNU navbati ish ishqalanish vaqt birligi kuchlar. Nima zichligi boshlandi sizga ichki kuch (zarracha bir nuqtaga tuzilgan shartnoma asosida zarrachaning massasi ichki kuchlar nisbati chegarasi) uchun:

a) ixtiyoriy uzluksiz vosita?             

b) ideal siqilmaydigan suyuqlik?             

10.22 M cheklanmagan baravar to'lib kosmik birinchi haqida, orom suyuqlik kelayotgan portlash - zumda siz parchalanadigan suyuq energiya va transfer paydo aniqlash bo'yin suyuqlik harakati. Gide suyak ko'rib ideal va noishlab

_ siqiladigan; tortishish kuchi va             

Shakl 10.2

portlash sodir bo'lgan joydan cheksiz katta masofada bosimni e'tiborsiz qoldiring. Barcha energiya EO kinetik energiya yaratish sarflanadi, deb taxmin fan suyuq va M dan kengayib borayotgan bo'shlig'iga tarqalishi suyuq natijasida - chuqur M markazi, bosim nol bo'ladi ichki bilan.

a) Muammoni matematik tarzda yeching - t ni aniqlash uchun to'liq tenglamalar tizimini yozing; va p, qulay koordinatalar tizimidagi chegara va dastlabki shartlar.             
b) t bo'shlig'ining radiusi va t va v vaqtlarining tarqalishini toping.             

v) Ti vaqtidagi maksimal bosim qiymati nimaga teng va u qayerda erishilgan?             

d) o'lchovli nazariyadan, xususan II teoremadan foydalanib, muammoning o'ziga o'xshashligini ko'rsatish uchun 10-bobga qarang, ta shaklidagi r va t kombinatsiyalarining funktsiyalarini aniqlashga kamayadi . Cheksizlikdagi bosim bo’lsa, o'z-o'ziga o'xshashlik saqlanib qoladimi?             

e) Consider 0 uchun muammoni ko'rib chiqing.             

f) Agar portlash biron bir nuqtada emas, balki tekis chiziqda yoki tekislikda sodir bo'lsa, shunga o'xshash muammolarni shakllantirish mumkinmi?