Uzluksiz funksiyalar va ularning хоssalari

7-teorema: Lebegning aniqmas integrali absolyut uzluksiz funksiyadir.
Isbot: Lebeg integralining absolyut uzluksizligi haqidagi teoremaga asosan har qanday son mavjudki, agar to`plamning o`lchovi dan kichik, ya`ni bo`lsa, u holda

Xususiy holda, ya`ni o`zaro kesishmaydigan soni chekli oraliqlar sistemasi uzunliklarining yig`indisi dan kichik bo`lsa, u holda

ammo

Bulardan:



ya`ni absolyut uzluksiz. Teorema isbot bo`ldi.


8-teorema(Lebeg). segmentda aniqlangan absolyut uzluksiz funksiyaning hosilasi jamlanuvchi va har bir uchun
(9)
Isbot: 3-Teoremaga asosan absolyut uzluksiz funksiyaning ikkita kamaymaydigan absolyut uzluksiz funksiyaning ayirmasi shaklida ifodalash mumkin;shuning uchun teoremani kamaymaydigan absolyut uzluksiz funksiyalar uchun isbotlash kifoya.
2-teoremaga asosan funksiyaning o`zgarishi chegaralangan. 6-natijaga asosan esa funksiyaning xosilasi deyarli har bir nuqtada mavjud; uni bilan belgilaymiz. Endi ning jamlanuvchiligini ko`rsatamiz.
ning hosilasi

nisbatning limitiga teng. kamaymaydigan bo`lgani uchun bo`lganda manfiy emas va da segmentning deyarli har bir nuqtasida ga yaqinlashadi.
ning jamlanuvchiligini ko`rsatish uchun Fatu teoremasidan foydalanamiz. Buning uchun funksiyalardan segment bo`yicha olingan integrallarning chegaranganligini ko`rsatamiz.
Darhaqiqat,

ifoda da ga intiladi. Chunki ning absolyut
uzluksizligiga asosan ixtiyoriy son uchun sonni shunday tanlaymizki, bo`lganda har bir uchun

bo`ladi. Shuningdek, agar bo`lsa, bo`ladi. Bulardan


.
Bundan, sonning ixtiyoriyligidan da



munosabat kelib chiqadi. Demak, ning integrali chegaralangan bo`ladi. Shunday qilib, Fatu teoremasini tadbiq qilish mumkin. Bu teoremada ning jamlanuvchiligi bilan birga

tengsizlik ham kelib chiqadi.
Agar bo`lsa, u holda hosila da jamlanuvchi va



funksiya va nuqtalarda uzluksiz bo`lgani uchun





absolyut uzluksiz bo`lganda (9) tenglik o`rinli bo`lishini ko`rsatamiz.

Ushbu

funksiyani kiritamiz.
funksiya 7-teoremaga asosan absolyut uzluksiz teoremaga asosan deyarli
har bir nuqtada

Amm ikkinchi tomondan ;shuning uchun ayirmaning hosilasi deyarli har bir nuqtada nolga teng. Demak 5-teoremaga asosan o`zgarmas songa teng. U holda
.
Agar bo`lsa, . Shu bilan teorema to`la isbot etildi.
7- va 8- teoremalardan quyidagi muhim natija kelib chiqadi.
9-natija: funksiya biror jamlanuvchi funksiyaning aniqmas integrali bo`lishi uchun absolyut uzluksiz bo`lishi zarur va yetarli.