Using a ring of about 4 meters

Abu Jafar al-Khazin may have worked on both astronomy and number theory or there may have been two mathematicians both working around the same period, one working on astronomy and one on number theory. As far as this article is concerned we will assume that al-Khazin worked on both topics. There seems no way of being certain which position is correct.
Al-Khazin's family were from Saba, a kingdom in southwestern Arabia, perhaps better known as Sheba from the biblical story of King Solomon and the Queen of Sheba. In the Fihrist, a tenth century survey of Islamic culture, he is described Al-Khurasani which means that he came from Khurasan in eastern Iran.

The Buyid dynasty, ruling in western Iran and Iraq, reach its peak around the time that al-Khazin lived. It undertook public schemes such as building hospitals and dams, as well as patronising the arts and sciences. Rayy, situated southeast of present day Tehran, was one of the major cultural centres of the Buyid dynasty. Islamic writers described Rayy as:-

... a city of extraordinary beauty, built largely of fired brick and brilliantly ornamented with blue faience (glazed earthenware).
Al-Khazin was one of the scientists brought to the court in Rayy by the ruler of the Buyid dynasty, Adud ad-Dawlah, who ruled from 949 to 983. We know that in 959/960 al-Khazin was required by the vizier of Rayy, who was appointed by Adud ad-Dawlah, to measure the obliquity of the ecliptic (the angle which the plane in which the sun appears to move makes with the equator of the earth). He is said to have made the measurement:-
... using a ring of about 4 meters.
One of al-Khazin's works Zij al-Safa'ih (Tables of the disks of the astrolabe) was described by his successors as the best work in the field and they make many reference to it. The work describes some astronomical instruments, in particular it describes an astrolabe fitted with plates inscribed with tables and a commentary on the use of these. A copy of this instrument was made but vanished in Germany at the time of World War II. A photograph of this copy was taken and the article [5] examines this.
Al-Khazin wrote a commentary on Ptolemy's Almagest Ⓣ which was criticised by al-Biruni for being too verbose. Only one fragment of this commentary has survived and a translation of it is given in [6]. The fragment which has survived contains a discussion by al-Khazin of Ptolemy's argument that the universe is spherical. Ptolemy wrote [6]:-
.. of different figures of equal perimeter, the one with more angles is greater in capacity, and therefore it is necessary that a circle is the greatest of surfaces (i.e. of all plane figures with a constant perimeter) and the sphere the greatest of solids.
Al-Khazin gives 19 propositions relating to this statement by Ptolemy. The most interesting results show, with a very ingenious proof, that an equilateral triangle has a greater area than any isosceles or scalene triangle with the same perimeter. When he tries to generalise this result to polygons, however, al-Khazin gives incorrect proofs. Other results among the 19 are based on propositions given by Archimedes in On the sphere and cylinder. The author of [6] argues that the ingenious results on triangles are unlikely to be due to al-Khazin but are probably taken by him from some unknown source.
The suggestion in [6] that al-Khazin is a third rate mathematician is somewhat doubtful given his work on number theory but as we stated at the beginning of this article, it is possible that there were two mathematicians of the same name. The papers [4], [9] and [7] all look at this number theory work by al-Khazin (see also [2] and [3]). The work of al-Khazin which is described seems to have been motivated by work of a mathematician by the name of al-Khujandi.

Al-Khujandi claimed to have proved that x3 + y3 = z3 is impossible for whole numbers x, y, z which of course is the n = 3 case of Fermat's Last Theorem. In a letter al-Khazin wrote:-

I demonstrate earlier ... that what Abu Muhammad al-Khujandi advanced - may God have mercy on him - in his demonstration that the sum of two cubic numbers is not a cube is defective and incorrect.
This seems to have motivated further correspondence on number theory between al-Khazin and other Arabic mathematicians. Results by al-Khazin here are interesting indeed. His main result is to:-
... show how, if we are given a number, to find a square number so that if the given number were added to it or subtracted from it the result would be square.
In modern notation the problem is given a natural number a, find natural numbers x, y, z so that x2 + a = y2 and x2 - a = z2. Al-Khazin proves that the existence of x, y, z with these properties is equivalent to the existence of natural numbers u, v with a = 2uv, and u2 + v2 is a square (in fact u2 + v2 = x2). The smallest example of a satisfying these conditions is 24 which al-Khazin gives
52 + 24 = 72, 52 - 24 = 12.
He also gives a = 96 with
102 + 96 = 142, 102 - 96 = 22
although, rather strangely, he seems to discount this case by another of his statements. Rashed suggests this may be because 96 = 2 × 48 = 2 × 6 × 8 and 62 + 82 = 102is not a primitive Pythagorean triple.
There is a mystery which Rashed notes in [7] (also in [2] and [3]). This relates to the quote above by al-Khazin regarding the false proof by al-Khujandi of the impossibility of proving x3 + y3 = z3. Rashed has discovered a manuscript which appears to be by al-Khazin, yet contains exactly what he had attributed to al-Khujandi. Although al-Khazin could have realised the error in al-Khujandi's proof and attempted a similar proof himself which he believed correct, there is no really satisfactory explanation of these facts.

Finally we should mention that al-Khazin proposed a different solar model from that of Ptolemy. Ptolemy had the sun moving in uniform circular motion about a centre which was not the earth. Al-Khazin was unhappy with this model since he claimed that if this were the case then the apparent diameter of the sun would vary throughout the year and observation showed that this were not the case. Of course the apparent diameter of the sun does vary but by too small an amount to be observed by al-Khazin. To get round this problem, al-Khazin proposed a model in which the sun moved in a circle which was centred on the earth, but its motion was not uniform about the centre, rather it was uniform about another point (called the excentre).

Article by: J J O'Connor and E F Robertson

Абу Джафар аль-Хазин, возможно, работал как по астрономии, так и по теории чисел, или, возможно, были два математика, работавших примерно в тот же период, один из которых работал над астрономией, а другой - по теории чисел. Что касается этой статьи, мы предположим, что аль-Хазин работал над обеими темами. Кажется, нет никакого способа быть уверенным, какая позиция правильная.

Семья Аль-Хазина была из Сабы, королевства на юго-западе Аравии, возможно, более известного как Шиба из библейской истории о царе Соломоне и королеве Савской. В «Фихристе», в десятом веке обзор исламской культуры, он описывается Аль-Хурасани, что означает, что он прибыл из Хурасана в восточном Иране.

Династия Buyid, управляющая в западном Иране и Ираке, достигает своего пика примерно в то время, когда жил аль-Хазин. Он проводил общественные схемы, такие как строительство больниц и плотин, а также покровительствование искусствам и наукам. Рай, расположенный к юго-востоку от нынешнего Тегерана, был одним из основных культурных центров династии Буид. Исламские писатели описывали Райя как: -

... город необычайной красоты, построенный в основном из обжигаемого кирпича и блестяще украшенный синим фаянсом (глазурованная фаянсовая посуда).
Аль-Хазин был одним из ученых, привезенных на суд в Райе правителем династии Буид, Адудом ад-Давлой, который правил с 949 по 983. Мы знаем, что в 959/960 году аль-Хазин потребовался визирем Рай, который был назначен Адудом ад-Давлой, для измерения наклонности эклиптики (угол, на котором движется солнце, движущееся с экватором Земли). Говорят, что он сделал измерение:
... используя кольцо около 4 метров.
Один из произведений аль-Хазина «Зидж аль-Сафаи» (Таблицы дисков астролябии) был описан его преемниками как лучшая работа в этой области, и они много говорят об этом. В работе описываются некоторые астрономические инструменты, в частности, он описывает астроляб, снабженный табличками с таблицами и комментарием об их использовании. Копия этого инструмента была сделана, но исчезла в Германии во время Второй мировой войны. Фотография этой копии была взята, и статья [5] рассматривает это.
Аль-Хазин написал комментарий к «Альмагест» Птолемея, который был подвергнут критике аль-Бируни за то, что он слишком многословен. Только один фрагмент этого комментария сохранился, и перевод его приведен в [6]. Оставшийся фрагмент содержит обсуждение аль-Хазином аргумента Птолемея о том, что Вселенная сферична. Птолемей писал [6]: -
.. разных фигур равного периметра, тот, у кого больше углов, больше по мощности, и поэтому необходимо, чтобы окружность была наибольшей из поверхностей (т. е. всех плоских фигур с постоянным периметром), а сфера - наибольшей из твердых тел ,
Аль-Хазин дает 19 предложений, касающихся этого заявления Птолемея. Самые интересные результаты показывают, с очень гениальным доказательством, что равносторонний треугольник имеет большую площадь, чем любой равнобедренный или скальный треугольник с одним и тем же периметром. Однако, когда он пытается обобщить этот результат на полигоны, аль-Хазин дает неверные доказательства. Другие результаты среди 19 основаны на предложениях Архимеда о сфере и цилиндре. Автор [6] утверждает, что гениальные результаты по треугольникам вряд ли будут связаны с аль-Хазином, но, вероятно, взяты им из какого-то неизвестного источника.
Предложение [6] о том, что аль-Хазин является математиком третьего курса, несколько сомнительно, учитывая его работу над теорией чисел, но, как мы заявляли в начале этой статьи, возможно, что были два математика с тем же именем. В работах [4], [9] и [7] все эти работы по теории чисел рассматриваются аль-Хазином (см. Также [2] и [3]). Описанная работа аль-Хазина, по-видимому, мотивирована работой математика по имени аль-Худжанди.

Аль-Худжанди утверждал, что доказал, что x3 + y3 = z3 невозможно для целых чисел x, y, z, что, конечно, является случаем n = 3 последней теоремы Ферма. В письме аль-Хазин писал:

Я еще раньше доказываю, что то, что Абу Мухаммад аль-Худжанди выдвинул - может ли Бог помиловать его - в его демонстрации, что сумма двух кубических чисел не является кубом, является дефектной и неправильной.
Это, по-видимому, мотивировало дальнейшую переписку по теории чисел между аль-Хазином и другими арабскими математиками. Результаты аль-Хазина здесь действительно интересны. Его главный результат:
... показать, как, если нам присваивается число, найти квадратное число, чтобы, если бы указанное число было добавлено к нему или вычтено из него, результат был бы квадратным.
В современных обозначениях задаче задано натуральное число а, найдем натуральные числа х, у, г так, чтобы х2 + а = у2 и х2 - а = г2. Аль-Хазин доказывает, что существование x, y, z с этими свойствами эквивалентно существованию натуральных чисел u, v с a = 2uv, а u2 + v2 - квадрат (фактически u2 + v2 = x2). Наименьшим примером удовлетворяющих этим условиям является 24, который аль-Хазин дает
52 + 24 = 72, 52 - 24 = 12.
Он также дает a = 96 с
102 + 96 = 142, 102-96 = 22
хотя, как ни странно, он, похоже, оспаривает это дело другим своим заявлением. Rashed предполагает, что это может быть связано с тем, что 96 = 2 × 48 = 2 × 6 × 8 и 62 + 82 = 102 не являются примитивной пифагорейской тройкой.
Существует тайна, которую Rashed отмечает в [7] (также в [2] и [3]). Это относится к приведенной выше цитате аль-Хазином о ложном доказательстве аль-Худжанди о невозможности доказать x3 + y3 = z3. Рашед обнаружил рукопись, которая, как представляется, аль-Хазином, но содержит то, что он приписал аль-Худжанди. Хотя аль-Хазин мог осознать ошибку в доказательстве аль-Худжанди и попытался аналогичное доказательство, которое, по его мнению, было правильным, нет действительно удовлетворительного объяснения этих фактов.

Наконец, следует упомянуть, что аль-Хазин предложил другую солнечную модель от модели Птолемея. У Птолемея было движение Солнца равномерным круговым движением вокруг центра, который не был землей. Аль-Хазин был недоволен этой моделью, так как он утверждал, что если это так, то кажущийся диаметр солнца будет меняться в течение всего года, и наблюдение показало, что это не так. Конечно, кажущийся диаметр Солнца меняется, но слишком малое количество, которое должен наблюдать аль-Хазин. Чтобы обойти эту проблему, аль-Хазин предложил модель, в которой солнце двигалось по кругу, сосредоточенному на земле, но его движение было неравномерно относительно центра, а было однородным относительно другой точки (называемой эксцентриком).

Статья: J J O'Connor и E F Robertson
Хазин: Абу Джафар Мухаммад ибн аль-Шусайн аль-Хазин аль-Хурасани

Эмилия Кальво

Родился, вероятно, Хурасан (Иран)

Умер около 971

Абу Джафар аль-Хазин был астрономом и математиком, основной работой которого был Зидж аль-Хафаи (zīj из тарелок). A zīj - астрономическое пособие; «Плиты» здесь относятся к пластинкам астрономического инструмента, например, астролябии или экваториума. Эта работа была рассмотрена более поздними учеными как лучшая работа в этой области.

Абу Джафар аль-Хазин был сабианским персидским происхождением. (Сабианцы были эллинизированной языческой сектой, которая была терпима в раннем исламе.) Его называли аль-Хурасани, то есть из Хурасана, провинции на востоке Ирана. Хазин был прикомандирован к суду правителя Буид Рукн аль-Доула (932-976), принца Райя (город недалеко от Тегерана, разрушенного в 12 веке). Там он воспользовался покровительством Абу аль-Файла ибн аль-Амида, визиря Рукн-эль-Давла, и его слава дошла до Багдада. В 953/954 году Хазин сыграл роль переговорщика в войне, в которой армия Ню ибн Наур из Хурасана выступала против Рукна аль-Давла.

Будучи астрономом, Хазин знал и прокомментировал работы более ранних астрономов. Например, он написал комментарий к Альмагесту Птолемея, в котором он представил информацию об астрономических действиях ранних исламских астрономов.
Позднее авторы упоминают астрономические наблюдения Хазина. Он измерил наклон эклиптики в Райе в 960 году. Это измерение было заказано вышеупомянутым визирем Ибн аль-Амидом, который также заказал строительство квартера в Райе. Хазин вместе с другим астрономом по имени аль-Хирави измерил наклон эклиптики этим инструментом. Нам также говорят об определении широты, сделанной Хазином и несколькими сотрудниками, использующими кольцо длиной 4 м. Другой источник упоминает наблюдения, сделанные в Кашане 6 октября 960 года, также заказанные Ибн аль-Амидом, чтобы получить широту этого города. В 970 году он также измерил наклон эклиптики в Эдессе.

Хазин был не только хорошим наблюдателем, но и теоретиком. Он верил в солидный характер небесных сфер, поддерживал теорию прогрессивного уменьшения наклонности эклиптики и, вероятно, теорию трепетания равноденствий по дуге 8 ° на эклиптике.

Среди его трудов есть макала, в которой Хазин разработал солнечную модель без эксцентриков и эпициклов. Этот макала не сохранился, но есть некоторые ссылки на него, сохранившиеся в некоторых работах Бируни. Это была гомоцентрическая модель, в которой Солнце имеет круговое движение с Землей как центром круга, но таким образом, что его движение равномерно относительно точки, которая не совпадает с центром Вселенной. В этой модели Солнце движется по кругу, который концентричен и копланарен с эклиптикой с переменной скоростью. Однородное движение Солнца происходит в другом круге. Расстояние между центрами этих двух окружностей имеет то же значение, что и эксцентриситет Птолемеев. Но не существует ни апогея, ни перигея, вопреки модели Птолемея, хотя линия, соединяющая два центра, пересекает круг пути Солнца, где он достигает своих минимальных и максимальных скоростей. Эта система появилась в более полной версии в 14 веке, в работе астронома Генри Лангенштейна под названием «De repbatione ecentricorum et epiciclorum» (1364).
Хазин был также автором книги (ныне утерянной) под названием Китаб аль-Аб'ад ва-л-айрама, в которой он дал диаметры звезд от первой до шестой величины, но не сказал, как он получил эти ценности.
Зидж аль-шафаи, написанный для Ибн аль-Амида, касался варианта астролябии. Эта работа считалась утраченной в течение длительного времени, но в конце 1990-х годов рукопись с копией неполного текста этого трактата была найдена в Исследовательской библиотеке правительства Сринагара в Индии (номер 314). Страницы 17-87 и страницы 95-102, а также, по всей вероятности, часть последней части рукописи (215b-?) Отсутствуют в копии. Потерянные страницы содержат детали конструкции инструмента и использование планетарной пластины прибора. На первой странице трактата есть индекс содержания, из которого мы можем подтвердить, что трактат делится на две книги (или макалат), о которых сообщают более поздние авторы. Первая книга трактата посвящена вычислению долготы и широты планет. Этому анализу предшествует введение, которое в основном теоретическое. Вторая книга разделена на семь глав. Он посвящен астрономии первичного мобильного, вычислению сферической астрономии и элементам тригонометрии, которые необходимы для их выполнения. Описанный инструмент содержит целый набор ортогональных линий, которые предоставляют графические решения для стандартных астрономических задач, обычно решаемых зиджем или астролябией; Хазин, однако

, uses a safīḥat al‐juyūb, a plate of sines, instead of a conventional astrolabe with its plates.

One such instrument was made by Hibat Allāh ibn al‐Ḥusayn al‐Asṭurlābī, an astrolabist of early 12th‐century Baghdad. He constructed the instrument in the year 513 of the Hijra (1120). The instrument was still extant at the beginning of the 20th century in Germany, but it subsequently disappeared. Photographs of this instrument were published and analyzed by David King. In the late 1990s the instrument was rediscovered in Berlin. It has more plates than the ones depicted in the preserved photographs and awaits a deeper study.

In mathematics Khāzin was the first to show that a cubic equation of the form x3 + c = ax2 could be solved geometrically by means of conic sections. He stated that the equation x3 + y3 = z3 did not have a solution in positive integers, but he was unable to give a correct proof. Khāzin also worked on the isoperimetric problem and wrote a commentary to Book X of Euclid's Elements.

, использует safīḥat al-juyūb, пластину синусов, вместо обычной астролябии с ее пластинами.

Одним из таких инструментов был Хибат Аллах ибн аль-Шусайн аль-Ашурлаби, астролабист Багдада начала 12-го века. Он построил инструмент в 513 году хиджры (1120 г.). Инструмент все еще существовал в начале 20-го века в Германии, но впоследствии он исчез. Фотографии этого инструмента были опубликованы и проанализированы Дэвидом Кингом. В конце 1990-х годов инструмент был вновь открыт в Берлине. Он имеет больше пластинок, чем те, которые изображены на сохранившихся фотографиях, и ждет более глубокого изучения.

В математике Хазин первым показал, что кубическое уравнение вида x3 + c = ax2 может быть решено геометрически с помощью конических сечений. Он заявил, что уравнение x3 + y3 = z3 не имеет решения в положительных целых числах, но он не смог дать правильное доказательство. Хазин также работал над изопериметрической проблемой и написал комментарий к книге X Элементов Евклида.