Ushbu dissertatsiyaning asosiy ishi sifatida vaqt o’zgaruvchisi bo’yicha kasr tartibli
Diffuziya tenglamasinini Dyuamil prinsipi yordamida
(2)
Boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi va
(3)
Qo’shimcha shart yordamida funksiyalarini toppish masalasini ko’ramiz. Berilgan (1) (3) masalada , Rimann-Liuvial differensial operatori
va
Shuningdek (1) (3) teskari masalada berilgan yetarlicha silliq funksiyalar deb qaraladi.
Dastlab (1) (2) Koshi masalasini tadbiq etamiz, buning uchun (1) (2) masalaga mos bir jinsli tenglamasi
Koshi sharti bilan birgalikda qaraymiz.
Teorema 1. Faraz qilaylik bo’sin, u holda (4) (5) masala yagona klassik yechimga ega bo’lib, bu yechim
ko’rinishda bo’ladi, bu yerda
ikki parametrli M-L funksiyasi.
Teorema 1 ni isbotlashdan oldin Grin funksiyasining ba’zi xossalarini keltirib o’tamiz.
Lemma 1. Grin funksiyasi uchun quyidagilar o’rinli:
bu yerda Dikarning deltasi:
Isbot: 1) Dastlab (8) tenglikning o’rinli ekanligini ko’rsatamiz. Buning uchun oldin Grin funksiyasining R-L kasr integralini olamiz.
Demak
M-L funksiyasining xossasidan va Dikar funksiyasining fure almashtirishiga ko’ra
bo’lishini ko’rish qiyin emas.
2) (9) tenglikni tog’ridan tog’ri integrallash yordamida ko’rsatamiz. Demak uchun
Bu yerda biz munosabatdan foydalandik.
3) Endigi navbatda hosilalarning(R-L kasr hosilasi va fazoviy o’zgaruvchilar bo’yicha ikkinchi tartibli hosilalarning) mavjudligini ko’rsatamiz. Buning uchun avvalo formal ravishda hosila olamiz. funksiyaning aniqlanishiga ko’ra
bo’lishini ko’rish qiyin emas
Lemma 1 to’liq isbotlandi.
Teorema 1 ning isbotiga to’xtalamiz. Dastlab (4) (5) tengliklarning ikkala tomoniga x bo’yicha fure almashtirish qo’llaymiz. Natijada