Ushbu dissertatsiyaning asosiy ishi sifatida vaqt o’zgaruvchisi bo’yicha kasr tartibli

Ushbu dissertatsiyaning asosiy ishi sifatida vaqt o’zgaruvchisi bo’yicha kasr tartibli

Diffuziya tenglamasinini Dyuamil prinsipi yordamida
(2)
Boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi va
(3)
Qo’shimcha shart yordamida funksiyalarini toppish masalasini ko’ramiz. Berilgan (1) (3) masalada , Rimann-Liuvial differensial operatori

va

Shuningdek (1) (3) teskari masalada berilgan yetarlicha silliq funksiyalar deb qaraladi.
Dastlab (1) (2) Koshi masalasini tadbiq etamiz, buning uchun (1) (2) masalaga mos bir jinsli tenglamasi

Koshi sharti bilan birgalikda qaraymiz.
Teorema 1. Faraz qilaylik bo’sin, u holda (4) (5) masala yagona klassik yechimga ega bo’lib, bu yechim

ko’rinishda bo’ladi, bu yerda

ikki parametrli M-L funksiyasi.
Teorema 1 ni isbotlashdan oldin Grin funksiyasining ba’zi xossalarini keltirib o’tamiz.
Lemma 1. Grin funksiyasi uchun quyidagilar o’rinli:




bu yerda Dikarning deltasi:


Isbot: 1) Dastlab (8) tenglikning o’rinli ekanligini ko’rsatamiz. Buning uchun oldin Grin funksiyasining R-L kasr integralini olamiz.

Demak

M-L funksiyasining xossasidan va Dikar funksiyasining fure almashtirishiga ko’ra

bo’lishini ko’rish qiyin emas.
2) (9) tenglikni tog’ridan tog’ri integrallash yordamida ko’rsatamiz. Demak uchun

Bu yerda biz munosabatdan foydalandik.
3) Endigi navbatda hosilalarning(R-L kasr hosilasi va fazoviy o’zgaruvchilar bo’yicha ikkinchi tartibli hosilalarning) mavjudligini ko’rsatamiz. Buning uchun avvalo formal ravishda hosila olamiz. funksiyaning aniqlanishiga ko’ra

R-L kasr hosilani hisoblashda ta’rifdan foydalanamiz:

(12) va (13) dan (7) tengsizlikning tog’ri ekanligini ko’rish qiyin emas.
4) Agar ikki parametrli M-L funksiyasi uchun bo’lganda

Bahoni inobatga olsak, u holda uchun
sohada quyidagi baho o’rinli:

(7) tenglikdan da

bo’lishini ko’rish qiyin emas
Lemma 1 to’liq isbotlandi.
Teorema 1 ning isbotiga to’xtalamiz. Dastlab (4) (5) tengliklarning ikkala tomoniga x bo’yicha fure almashtirish qo’llaymiz. Natijada


Tengliklarga ega bo’lamiz, bu yerda


Keyingi bosqichda funksiyaning o’zgaruvchi bo’yicha laplas almashtirish mavjud deb qaraymiz. So’nra (…) formulaga ko’ra

bo’lishini topamiz. (…) Formulaga ko’ra (16) formulada laplas almashtirish qo’llab

Ekanini ko’rish qiyin emas.
Hosil qilingan (17) tenhlikka o’zgaruvchi bo’yicha teskri Fure almashtirishini qo’llaymiz. Natijada

yoki

funksiyani (18) ga keltirib qo’yish natijasida:
=

Bo’lishini topdik, bu yerda Teorema 1 da aniqlangan. Topilgan yechim (5) shartni qanoatlantirishini tekshirib ko’ramiz. (6) va (8) ga ko’ra

Tenglikdan yechim klassik yechim bo’lganini ko’ramiz. (9) yordamida (6) dan uchun

Shunday qilib

Undan tashqari va (10) ga ko’ra

Xuddi shunday ko’rsatish mumkin:

Demak (4) tenglamada qatnashayotganlarda hosilalar mavjud.
Teorema 2. Faraz qilaylik bo’lsin. U holda

tenglama

Shartni qanoatlantiruvchi yagona yechimi

bu yerda

Teorema 2 ning isboti Teorema 1 va Lemma 1 dan kelib chiqadi.
Bir jinsli bo’lmagan tenglamani dyumil prinsipi yordamida yechish.
Quyidagi


Masalaning yechimi uchun quyidagi teorema o’rinli
Teorama 3.