Урок Граница и внутренность множества План урока

Пример 2. Рассмотрим на числовой прямой интервал . Докажем, что каждая точка интервала является его внутренней точкой, а граница интервала состоит из двух точек и .
I. Пусть . Тогда , . Выберем , равное наименьшему из чисел , , и возьмем из окрестности точки . Тогда , то есть . Аналогично, , то есть . Тем самым найдена окрестность точки , целиком лежащая в интервале (рисунок 5).
II. Пусть . Тогда для произвольного окрестность или содержит как точки, принадлежащие интервалу , так и точки, не принадлежащие ему (рисунок 6). Аналогично доказывается, что также является граничной точкой интервала .
III. Пусть . Возьмем и рассмотрим из окрестности точки . Тогда , то есть . Следовательно, найдена окрестность точки , все точки которой не принадлежат интервалу . Таким образом, если , то точка является внешней для интервала (рисунок 7). Аналогично доказывается, что если , то точка — также внешняя для интервала .


Обратите внимание, что понятие границы множества зависит от того, в каком пространстве оно рассматривается. Например, на плоскости все точки отрезка являются граничными, а на прямой у отрезка всего две граничных точки.


Вопрос Пусть последовательность с общим членом сходится к числу . Как доказать, что является одной из граничных точек множества всех членов этой последовательности?
(Подсказка: По определению предела внутри интервала при любом  обязательно существуют точки последовательности. Внутри интервала находится бесконечное количество элементов последовательности, следовательно, в промежутке их может быть только конечное количество. Но любой интервал содержит бесконечное количество точек, поэтому внутри интервала , а значит и интервала обязательно существует точка, не принадлежащая последовательности)