Урок Граница и внутренность множества План урока

Пример 1. Рассмотрим полукруг радиуса с центром без его диаметра (рисунок 2). Покажем, что границей этой фигуры является объединение дуги и отрезка, ограничивающих полукруг.
Пусть точка лежит на дуге и — произвольная окрестность радиуса точки , где . Построим на луче точки и так, что , (рисунок 3). Тогда точки и лежат в окрестности . Однако, точка не принадлежит рассматриваемому полукругу, а точка — принадлежит. В результате получаем, что каждая окрестность точки содержит как точки из рассматриваемого множества, так и точки, не принадлежащие ему. Поэтому — граничная точка.
Пусть точка лежит на диаметре . Например, пусть точка совпадает с точкой . Рассмотрим произвольную окрестность точки радиуса . В полуплоскости с границей , содержащей дугу полукруга, построим точку так, что , (рисунок 4). Тогда точки и лежат в окрестности , однако, точка принадлежит рассматриваемому полукругу, а точка — не принадлежит.


Вопрос Что представляет из себя внутренность множества, рассматриваемого в примере?
(Ответ: множество точек полукруга, за исключением ограничивающей дуги и ограничивающего диаметра)

Окрестность точки на прямой. Внутренние и граничные точки интервала.

Для множества точек прямой понятия внутренних, внешних и граничных точек определяют аналогично тому, как это делалось в пространстве и на плоскости.

Пусть — некоторая точка прямой и .
Тогда -окрестностью точки называется множество всех точек прямой, таких что .
Для краткости  - окрестность точки будем называть просто окрестностью точки .
Напомним, что на числовой прямой  -окрестность числа определяется с помощью чисел и представляет из себя интервал с центром в точке длиной . Ясно, что для точки плоского множества (круговую) окрестность радиуса можно называть (круговой) -окрестностью точки . Аналогично, если –точка множества, лежащего в пространстве, то (шаровую) окрестность можно называть (шаровой) -окрестностью точки .
Пусть теперь Ф — некоторое множество точек прямой.


Точка называется внутренней точкой множества Ф, если существует окрестность точки , все точки которой принадлежат Ф.


Точка называется внешней точкой множества Ф, если существует окрестность точки , все точки которой не принадлежат Ф.


Точка называется граничной точкой множества Ф, если каждая окрестность точки содержит как точки, принадлежащие Ф, так и точки, не принадлежащие Ф.