Уравнения тепломассообмена в потоках с химическими превращениями

1. 
   Уравнения тепломассообмена в потоках с химическими превращениями
   

Основные дифференциальные уравнения теории многокомпонентного турбулентного пограничного слоя реагирующих газов в предположении, что турбулентное число Льюиса равно единице (Le=1, Pr=Sc) можно записать в цилиндрических координатах в виде [ 46,54,56].

К этой системе уравнений присоединим уравнения состояния и полной энтальпия газовой смеси. Газовая смесь принимается совершенной, поэтому ее состояние удовлетворяет уравнению Менделеева-Клапейрона
,
где и – молярные массы газовой смеси и го компонента газа ; – универсальная газовая постоянная .
Полная энтальпия газовой смеси ( ) имеет вид
,
где и – теплоемкости газовой смеси и го компонента при постоянном давлении ; – кинетическая энергия газовой смеси единичной массы в приближении теории пограничного слоя; – теплотворная способность -го компонента .
Вводим функция тока , которая тождественно удовлетворяет уравнению неразрывности


и переходим от независимых переменных к переменных Мизеса используя формулы перехода

Точное выражение для массовой скорости образования k – й компоненты до сих пор не установлено. В некоторых случаях. Использование вместо нее формулы, аналогичной формуле Аррениуса, дает приемлемые для практики результаты.
Ниже в качестве использовано выражение:

Химические реакции идут с различной скоростью: одни очень быстро, другие – годами. Кроме того, чтобы реакции осуществлялись, необходимы определенные условия: давление, температура и др. Одна и та же реакция идет медленно при обычной температуре и очень быстро при высокой. Знание скоростей химических реакций имеет очень большое значение для науки и практики. Кинетика изучает скорости химических реакций и их зависимость от различных факторов [65].
Скорость химической реакции – это число элементарных актов реакции, происходящих в единицу времени в единице объема. Почему же скорость определяется числом элементарных актов взаимодействия? Дело в том, что взаимодействие происходит только в случае столкновения молекул друг с другом. Правда, как мы увидим позже, далеко не каждое столкновение молекул приводит к реакции. Необходимы еще соответствующая ориентация электронных облаков взаимодействующих молекул, а так же определенная энергия, которой молекулы должны обладать [66].
Реакций выше третьего порядка не встречаются, так как одновре-менное столкновение четырех и более молекул, обладающих энергией для реакции, маловероятно. Под скоростью химической реакции понимают изменение концентрации реагирующих веществ С, т.е. количества вновь образовавшегося вещества или уменьшение реагирующего вещества в единице объема в единицу времени [67].
Диффузия химически активного газа в порах впервые теоретически рассматривалась Я.Б. Зельдовичем в работе [81], где автором было показано существование трех режимов протекания реакции на пористом катализаторе: кинетический, внутри диффузионный и внешне диффузионный. Кинетический режим протекания гетерогенной реакции характеризуется постоянной концентрацией газового реагента во всем объеме катализатора. При повышении температуры константа скорости химического превращения растет по закону Аррениуса, скорость диффузии же растет по степенному закону. Поэтому начиная с некоторой температуры скорость химической реакции начинает опережать скорость установления диффузионного равновесия во всем объеме твердого тела.
Важнейшим параметром, от которого зависит истинная константа скорости химической реакции, является температура. Скорости подавляющего большинства реакций с повышением температуры увеличиваются. Для описания температурной зависимости константы скорости наиболее широкое применение находит эмпирическая формула Аррениуса [68].
Переход от к осуществляется с помощью формул, получаемых из первого соотношения
, .
Для плоского и осесимметричного случаев соответственно. В задачах, за нулевую линию тока принимают ось . Преход к физической переменной х зависит от конкретно выбранной формулы для коеффицента турбулентгого обмена, и рассматривается отдельно для каждого из рассматриваемых случаев.
Получаем уравнение реакции в стехиометрической форме следующим образом.
,
где стехиометрические коэффициенты , относятся кислороду, горючему, окиси углерода и водяному пару, . Кроме того, учитывается наличие молекулярного азота , который считается химически пассивным компонентом. Соответственно, в данном случае количество уравнений сохранения компонентов составляет , которые сокращенно записываются в виде
( )
Для задач диффузионного горения можно привести к более компактному виду:

Здесь использовано условие стехиометрического равенства количество расходуемых и образуемых веществ:

или

Чтобы сократить количество уравнений, введем функцию Шваба-Зельдовича

Ввод консервативной функции

Не изменяет вид уравнения

Введение позволяет освободиться от источникового члена в уравнении диффузии и приводит число уравнений диффузии к одному для четырехкомпонентной смеси. При конечной скорости реакции необходимо интегрировать уравнение диффузии для каждый компоненты в отдельности.
Предполагается, что реакция протекает с бесконечно большой скоростью. Это допущение позволяет считать зону горения бесконечно тонкой поверхностью по сравнению с толщиной зоны смешения. На такой поверхности фронта пламени и выгорает все поступившее количество горючего и окислителя, а с другой – концентрация горючего. В области между фронтом пламени и верхней границей зоны смешения равно нулю ( ).
Тогда аналогичную введенной для концентрации замену можно использовать и применительно к полной энтальпии, что приводит к нормированию полной энтальпии . В результате количество уравнений сокращается до одного.
Следующий решении задач о распространении концентрации в круглом турбулентном струи горючего газа и окислителя в спутном патоке при химическом равновесии.
Для определения концентраций окислителя горючего и продукта _{реакции}

Проверка полученных формул для концентраций можно осуществить вычислением сумму концентраций. При учете зависимостей

и баланса массы согласно стехиометрическому уравнению реакции

суммирование концентраций в каждой из зон равняется единице, хотя массовые концентрации компонентов зависят от переменной .

2. 
   Основные подходы к моделированию турбулентности
   

Как впервые показал Рейнольдс, изучая движение воды в трубах и каналах, следует различать два режима течения жидкости – ламинарный и турбулентный. Ламинарное течение представляет собой движение слоёв жидкости относительно друг друга(слоистое течение) [69].
Турбулентное движение жидкости – это нерегулярное состояние потока, в котором различные величины показывают случайные изменения во времени и пространстве. В практических системах турбулентные потоки неизбежны даже в отсутствие химической реакции, что вызывает значительные трудности при практическом моделировании потока. Когда нестационарные уравнения Навье-Стокса применяются к турбулентным потокам, временные и пространственные масштабы турбулентного движения настолько малы, что количество точек сетки и небольшой размер временных шагов, требуемых при вычислении, выходят за рамки текущего компьютера. технология. Таким образом, современная вычислительная механика жидкости достигается за счет использования усредненных по времени уравнений Навье-Стокса; учитывается грубое влияние турбулентности на средний по времени поток, в то время как детальная структура турбулентности не учитывается.
Этапы развития моделирования турбулентности
1. До второй мировой войны– попытки понять физическую сущность турбулентности, введение основных понятий.
Буссинеск– 1877 (Гипотеза Буссинеска), Рейнольдс– 1895 (осреднение по Рейнольдсу) , Прандтль– 1925 (теория пути смешения Прандтля), Карман– 1930 (формула Кармана)
2. 40-50-е годы– создание математической базы и теоретических основ большинства моделей турбулентности.
Колмогоров– 1942 (формула Колмогорова, первая модель )
3. 60-е годы– наше время. Использование моделей турбулентности для замыкания уравнений Рейнольдса. Бурное развитие моделирования турбулентности в 60е-70е годы. Появление моделей различных типов, в первую очередь k-ε. Большие надежды, связанные с моделями типа k-ε, появление большого количества модификаций. Разочарование 80х годов. 90е– практический подход к созданию моделей. Появление лучших из современных моделей турбулентности.
Напомним, что модели с одним уравнением переноса кинетической энергии турбулентности не являются полными, если не определена длина пути смешения. Несмотря на то, что для некоторых типов течений оказалось, что длина пути смешения может быть определена через расстояние до ближайшей твёрдой поверхности, требуется более универсальный подход для замыкания модели. В качестве такого универсального подхода для определения недостающей переменной в каждой точке пространства Харлоу и Накаяма в 1968 г. [22] предложили использовать уравнение переноса для скорости диссипации кинетической энергии турбулентности ε. Формулировка так называемой k–ε модели, удобная для численных расчётов, получила широкое распространение после публикации в 1972 г. книги Б. Лаундера и Б. Сполдинга [23,72].
Наиболее популярной моделью с двумя дифференциальными уравнениями является k-ε модель, предложенная Чоу (1945) и получившая дальнейшее развитие в исследованиях Лаундера– Джонса (1972) [60,73].




Преимущества реалистичной k-ε модели очевидны на примерах плоской и круглой струи, течениях с сильной кривизной потока, течениях с отрывом, с вторичными течениями [60].
В работе [41] расчет LES был выполнен для полной горелки газовой турбины с частичным предварительным смешиванием, как для нереагирующих, так и для реагирующих случаев. Пламя описывается с использованием двухступенчатой химической схемы в сочетании с моделью сгущенного пламени (TF). Результаты показывают, что входные граничные условия (особенно уровень вихря) оказывают очень большое влияние на топологию потока. При правильных условиях на входе общее согласие с экспериментом очень хорошее как для холодного, так и для реагирующего потоков.
В работе [42] описаны численные исследования дозвукового нестационарного турбулентного течения реагирующего газа. Моделировалось метановоздушное диффузионное пламя. Для моделирования течения химически реагирующего газа использовались три различных подхода. Сравнение полученных результатов проводилось по величине тензора скоростей деформаций, распределению кинетической и турбулентной скоростям реакции.
В работе [87] приведены результаты численного моделирования и оптимизации многотопливного горелочного модуля для организации первичной зоны горения ГТУ. Расчёты проводились в 2d осесимметричной постановке с использованием k-ε модели турбулентности и модели горения Eddy Dissipation Model (EDM). По результатам работы найдены параметры геометрии горелочного модуля, обеспечивающие условия качественного смешения топлива с воздухом и устойчивость процесса горения бедных смесей α>1,5 [85].
В работе [86] проведен анализ рабочего процесса и условий самовоспламенения топливно – воздушной смеси в вихревом противоточном воспламенителе, где стабилизация фронта пламени происходила в камере с перфорированной стенкой. Численное моделирование проведено в пакете CFXTaskFlow в полной 3d постановке на SST модели турбулентности без горения. В расчётах определены области, где из – за действия вихревого эффекта максимальная температура потока воздуха превышает её значение на входе. Обнаружены прецессия вихревого ядра и крупномасштабные вихревые структуры сдвигового характера [85].
Методы решения задач математической физики можно подразделять на следующие четыре класса. Аналитические методы, приближенно-аналитические методы, численные методы, вероятностные методы. Основные уравнения механики жидкости и газа решаются численными методами.
Численные методы (метод конечных разностей, метод прямых, метод конечных элементов и др.). Эти методы весьма универсальны. Часто применяются для решения нелинейных задач математической физики, а также линейных задач с переменными операторными коэффициентами.
Численное решение задач Механика жидкости газа, описываемых дифференциальными уравнениями, основано на их сведении к задачам решения систем алгебраических уравнений. Для этого расчетная область разбивается на ячейки (формируется расчетная сетка). Непрерывное распределение гидродинамических параметров заменяется дискретным со значениями, привязанными к узлам сетки, либо к центру ячеек. Распределение гидродинамических параметров по времени также заменяется дискретным со значениями, привязанными к каждому временному слою. Пространственная сетка при переходе с одного временного слоя на другой может оставаться как неизменной, так и трансформироваться, адаптируясь под текущее поле гидродинамических параметров. Таким образом производится пространственно – временная дискретизация поля искомых переменных.
Для численного решения системы уравнений газодинамики использовался явный Эйлерово-Лагранжев метод, известный также как метод “крупных частиц” [88]. Численный метод был модифицирован в [89] и в используемой версии имел второй порядок точности по пространству и первый порядок точности по времени. В рамках Эйлерово-Лагранжева метода решение системы уравнений газодинамики на конечно-разностной сетке разбивается на три этапа, реализуемых последовательно в рамках одного шага по времени. На первом, “Эйлеровом”, этапе искомые величины (плотность, скорость, полная энергия, массовые доли) рассчитываются в каждой ячейке сетки без учета конвективного переноса. На втором, “Лагранжевом”, этапе рассчитываются потоки массы газовой смеси через границы ячеек. На третьем, заключительном, этапе искомые величины, определенные на первом этапе, пересчитываются с учетом конвективных слагаемых.
Имеется несколько методов получения конечно – разностных моделей: разложение функций в ряд Тейлора, интерполяция функций полиномами, интегральный метод, метод контрольного объема. Конечно-разностная модель и метод ее решения представляют собой разностную схему решения исходной системы дифференциальных уравнений.
Для каждого уравнения в частных производных существует множество его конечно-разностных аналогов, из которых обычно нельзя выбрать наилучший со всех точек зрения. В первую очередь при использовании метода конечных разностей надо стреиться к правильной аппроксимации уравнений поставленной задачи, а во вторую очередь выбрать «наилучшую» схему, т. е. оптимизировать ее, учитывая ее точность, экономичность, удобство программной реализации на ЭВМ и т. д.

Рис. 1. Пример конечно-разностной сетки.
Когда мы решаем уравнение численным методом, это дает некоторую погрешность относительно аналитического решения. Погрешностью аппроксимации называется разность значений частной производной и ее конечно-разностного аналога. Можно характеризовать погрешность аппроксимации стандартным математическим обозначением порядка малой величины (О). Тогда последнее выражение можно переписать в виде

аппроксимирующее производную разностями назад

Получим аппроксимацию производной центральными разностями

конечно-разностную аппроксимацию производной второго порядка

Согласованной называется разностная схема, аппроксими рующая уравнение в частных производных. Напомним, что погрешностью аппроксимации называется разность между дифференциальным уравнением и его конечно-разностным аналогом, поэтому условием согласованности разностной схемы является стремление к нулю погрешности аппроксимации при измельчении сетки.
Понятие счетной устойчивости строго применимо лишь при решении маршевых задач. Разностная схема называется устойчивой, если на каждом шаге по маршевой координате любая ошибка (погрешность округления, погрешность аппроксимации, просто ошибка) не возрастает при переходе от одного шага к другому. Обычно для достижения устойчивости разностной схемы требуется намного больше времени и энергии, чем для достижения ее согласованности. Проверить условие согласованности разностной схемы нетрудно, кроме того, обычно оно выполняется автоматически, т. е. вытекает из использованного метода построения разностной схемы.
Используя эти соображения, ниже покажем, что схема Дюфорта — Франкела безусловно устойчива, тогда как простая явная схема устойчива лишь при условии, что

Это условие ограничивает шаг по маршевой координате (времени), если размер шага по пространственной координате задан.
В работе [94] настоящее время разработано множество разностных схем, отличающихся точностью, с которой они аппроксимируют систему дифференциальных уравнений, и методами решения получившейся системы алгебраических уравнений. Если искомые значения сеточных функций на следующем временном шаге выражаются явно через значения этих функций на текущий и предшествующий моменты времени, то такие разностные схемы называют явными. В противном случае разностная схема называется неявной. Неявные схемы менее требовательны к ограничениям на шаг интегрирования, но требуют выполнения больше операций для вычисления сеточных функций на новом временном слое.
В работе [83] описана методика и проведены результаты численного решения задачи о турбулентном диффузионном факеле с учетом конечной скорости горения. Численное интегрирование системы уравнений пограничного слоя описывающей этот процесс, проведено в плоскости переменных Мизеса – Магера – Либби с использованием явной четырехточечной конечно – разностной схемы; уравнение количества движения линеаризовано. Результаты расчета сопоставлены с экспериментальными данными и с приближенными аналитическими решениями.
В работе [84] предлагается модель для расчете турбулентного диффузионного факела на вертикальной теплоизолированной стенке. Согласно этой модели методом конечных разностей решается записанная в переменных Мизеса система уравнений движения, энергии, неразрывности, переноса для каждой из составляющих смеси. При этом в уравнении движения учитывается Архимедова сила. Эта система уравнений замыкается с помощью трехпараметрической модели турбулентности модели с тремя уравнениями для кинетической энергии турбулентных пульсаций. Ее диссипации и для среднеквадратичных пульсаций температуры. Предполагается что воспламенение струи топлива происходит сразу же у источника горючего. Результаты расчета хорошо согласуются с экспериментальным данными для нереагирующих потоков.
В работе [61] применяется турбулентная модель k−ε с граничным условием давления для поверхности увлекаемой атмосферы для расчета установившегося потока свободной струи. Это решается методом SIMPLE с использованием многосеточного решателя для увеличения скорости вычислений. На основе выполнения вышеупомянутого изотермического струйного потока моделируются струйные потоки сгорания диффузионного пламени и частичного предварительно перемешанного пламени с использованием предположения о быстрой химической реакции и модели Eddy-Dissipation-Concept (EDC), соответственно. Численные результаты сравниваются с экспериментальными и теоретическими результатами. Численные результаты изотермической струи и диффузионного струйного пламени хорошо согласуются с испытаниями Панчапакесана и Ламли, Локвуда и Монейба. Обнаружено, что модель EDC имеет некоторые ошибки при моделировании частичного предварительно перемешанного струйного пламени.
В данной работе [62] представлены результаты численного моделирования процессов горения цилиндрической камеры с осевой симметрией с учетом двух конфигураций. В первом случае камера термически изолирована, а во втором – камера погружена в воду. Для обеих конфигураций решаются две ситуации: одна с процессом горения в стехиометрических отношениях, а другая с избытком воздуха. Моделирование проводится с бесступенчатым процессом горения без предварительного смешения. Окислитель и топливо впрыскиваются горелкой. Предполагается, что топливо поступает через центральные кольцевые отверстия, а окислитель – через кольцевой канал, расположенный вне этих отверстий, на одной и той же плоскости. В этом моделировании используются атмосферный воздух и природный газ. Решаются уравнения сохранения массы, энергии, количества движения и химических частиц. Применялась k-ε модель турбулентности, а процесс горения описывался SCRS – Simple Chemically – Reacting Systems. Решение уравнений использует метод конечных объемов. Результаты математического моделирования позволяют определить профиль зоны горения, распределение концентрации химических веществ (топлива и кислорода), а также поля скоростей. Температурный профиль варьируется, что важно для прогнозирования работы камеры сгорания, а также для ее оптимизации. Подтверждение результатов было сделано путем сравнения с экспериментальными данными, полученными в литературе, и показало хорошее согласие.
В работе [92] численно изучаются различные режимы взаимодействия осесимметричной сверхзвуковой недорасширенной струи газа как с конечной, так и с плоской безграничной преградами. Использована модель идеального совершенного газа и один из вариантов схемы Годунова повышенного порядка точности. Проведено сравнение вычисленных и экспериментальных частотных спектров колебаний давления в центре преграды, получено их хорошее соответствие.
В работе [93] появящена оценкам параметров численного метода решения задачи распространения пламени по поверхности горючего материала, учитывающего сопряженный характер взаимодействия газовой среды и твердого тела и вихревое течение, вызванное естественной конвекцией. В работе рассмотрены особенности использования различных аппроксимационных схем, используемых при интегрировании исходных дифференциальных уравнений по пространству и во времени, релаксации полей при итерировании внутри шага по времени, различных шагов интегрирования по времени. Сформулированная в работе математическая модель позволяет описывать процесс распространения пламени по поверхности горючего материала. Газодинамика моделируется системой уравнений Навье – Стокса, вихревое течение описывается комбинированной моделью турбулентности RANS–LES, турбулентное горение – комбинированной моделью горения Eddy Break – Up с учетом кинетических эффектов, теплопередача излучением – методом сферических гармоник первого порядка аппроксимации (P1). Решение уравнений производится в программном пакете OpenFOAM.
В работе [95] в рамках упрощенной системы уравнений Навье-Стокса с привлечением дифференциального уравнения для турбулентной вязкости рассматривается задача о распространении сверхзвуковой недорасширенной турбулентной струя в спутном сверхзвуковом потоке. Для численного интегрирования системы уравнений построена полунеявная двухшаговая конечно – разностная схема.