Упругости для неоднородных анизотропных тел 3-bob bir hil bo'lmagan anizotrop jismlar uchun elastiklik nazariyasining variatsion tamoyillari

[ГЛ. З

тем внесения дополнительных условий (общих решений уравнений равновесия в объеме V и граничных условий в функциях напряжений на поверхности S) в функционал с множителями Лагранжа. Множители Лагранжа являются деформациями в объеме и на поверхности. Условия стационарности — полный набор уравнений и граничных условий теории упругости в функциях ср, о, е.
Функционал Э*п2 (Т, о, е) является промежуточным звеном преобразования Фридрихса (см. гл. 2, S 2.4) в Элз (е). Обратное преобразование Элз в эк2 производится через полный функционал Эпз (е, ср) (табл. 3.3), так что эти четыре функционала связаны между собой по схеме, изображенной на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Взаимосвязь функционалов Кастильяно Эа и Лагранжа Элзс полными функционалами: прямое и обратное преобразова• ние Фридрихса.
г) Полный функционал Э*пз (о, и) в напряжениях и перемещениях (функционал Рейсснера [0.13] ) получен внесением в Экз(о) (табл. 3.2) статических дополнительных условий с множителями Лагранжа и, которые можно считать, как видно из условий стационарности, перемещениями.
Функционал Рейсснера Э*пз (о, и) является промежуточным звеном преобразования Фридрихса (см. гл. 2, S 2.4) Экз(о) в Эјп(И, е) . Промежуточным звеном обратного преобразования эл2 в Экз служит функционал Ху— Вашицу 32 (и, е, о) (табл. 3.3), так что эти четыре функционала связаны между собой по схеме* аналогичной рис. 3.2.
S 31 полныЕ
Используя линейное преобразование пространства состояний
(3.4)
можно Э*пз (о, и) преобразовать в функционал. Рейсснера (1) в деформациях и перемещениях (см. S 3.1в). д) Полный функционал «р, о, е, Е, П) в рас-
ширенном квазиосновном пространстве состояний. Получен из о, е). Множители Лагран>ка— тензоры Е, Т. Их физический смысл определен вторым и третьим условиями стационарности.
Функционал Эп4 имеет вид, аналогичный Эп4 (табл. 3.3) и является промежуточным звеном для перехода к Э*п4а «р, о, е) (сравните с S 3.1 д).
е) Полный функционал Э*п4а о, е) в квазиоС-

н овном симметризованном пространстве выведен . из путем исключения множителей Лагранжа Е, Ч.
Между Э*п4а и Э*п2 существует связь, аналогичная связи между Эп4а (и, е, о) и Эп2 (и, е, б): Э*п2 переходит в э;4а при замене (5); обратное преобразование дается формулами (6):
(3.5)
е' = 2е— о • • Ь. (3.6)
По свойствам, связанным со стационарностью, функционалы и Э*4а эквивалентны, но имеют различные экстремальные свойства (см. S 5).
Функционал Э*пта (ср, о, е), подобно Эл4а (И, е, о), линейный (неоднородный) относительно каждой из трех переменных 9, о, е и имеет в этом смысле аналогичные свойства: связь Э*п4а с его условиями стационарности имеет симметричный вид, аналогично схеме на рис. 3.1.
ж) Полные функционалы с неполными полями функций напряжений, Деформаций и перемещений могут быть построены с помощью множителей•Лагранжа аз соответствующих разновидностей- функционала принципы [ГЛ. З
Кастильяно в декартовой и некоторых других системах координат по аналогии с Эп5 и Эп6 (табл. 3.3 и S 3.1ж).
S 4. Частные функционалы. Их взаимосвязь с полными функционалами
Согласно S 2 гл. 2 частные функционалы получаются из полных при наложении некоторых условий стационарности в качестве дополнительных условий. При этом выражение для функционала обычно упрощается, так как некоторые слагаемые обращаются в нуль.
Из приведенной в S 2.3.l гл. 2 классификации дополнительных условий, которые можно наложить на полный функционал, видно, что количество возможностей для лолучен•ия различных частных функционалов очень велико. В частности, легко осуществляется переход к функционалам Лагранжа и Кастильяно. Некоторые другие, наиболее характерные, на наш взгляд, частные функционалы, приведены в табл. 3.5.
4.1. Различные варианты частных функционалов Лагранжа и Кастильяно (табл. 3.1 и 3.2).
а) Получение функционалов Лагранжа из лагранжевой серии полных функционалов и Кастильяно — из кастильяновой серии представляет собой обратный переход от полных функционалов к частным, из которых они получены. Для этого перехода в качестве дополнительных условий принимают те уравнения, которые были внесены в функционал с множителями Лагранжа; при этом слагаемые в функционале, содержащие множители Лагранжа, обращаются в нуль. б) Преобразование некоторых полных функционалов лагранжевой серии (табл. 3.3) в различные варианты функционала Кастильяно (табл. 3.2). Наложение в качестве дополнительных условий тех условий стационарности полных функционалов, которые не были дополнительными условиями исходных функционалов Лагранжа (табл. 3.1), и исключение с помощью этих уравнений переменных, входящих в исходные функционалы Лагранжа, приводит (см. гл. 2,
S 41
S 2.4) к различным вариантам функционала Кастильяно, зависящим от статических величин, которые при построении полных функционалов были множителями Лагранжа. Это преобразование является одним из этапов преобразования Фридри;са Эј1ј --+Экј.
Так, например, Эп2(и, е, о) (табл. 3.3) после наложения в качестве дополнительных условий статических уравнений в объеме и на поверхности тела теряет переменную и. Это становится очевидным, если с помощью формул

и формулы Остроградского (см. Приложение 2) преобразовать функционал Эп2 к виду Эп2 (И, е,

— f*)' • и dS+ (и*)” • о • п dS.
Действительно, если о удовлетворяет статическим уравнениям в объеме и на поверхности, то коэффициенты при и в объемном и поверхностном интегралах равны нулю, и Эп2 не зависит от и. Продолжая преобразование, наложим в качестве дополнительных условий еще и физические уравнения (1.2), выразим е через о и подставим о. •b в функционал (1); получим функционал Кастильяно Экз (о)
Подобным образом, накладывая статические дополнительные условия и исключая переменную е из полного функционала Эпз (е, 9) (табл. 3.3), перейдем к другой разновидности функционала Кастильяно Эм (О (табл. 3.2).
Функционал Эп1 (u,f) нельзя указанным путем преобразовать ни в какую разновидность функционала Кастильяно, так как он не содержит статических переменных в объеме V.
Функционал Эп4а (и, е, о) переходит, как и Эп2(и, е, о), в Эм (о), если наложить статические

дополнительные условия
v.+(o+e . в V,
[4(о+е . на S
и исключить е с помощью уравнений

в) Преобразование некоторых полных функционалов кастильяновой серии (табл. 3.4) в функционалы Лагранжа (табл. 3.1). Переход от ЭХ к эл). — один из этапов преобразования Фридрихса эк1 Эл (см. гл. 2 S 2.4)— осуществляется по аналогии с преобразованием в Экј (см. S 4.16).
Функционал Эп2 (ср, о, е) после наложения дополнительных условий (1.8) и (1.2) в объеме тела и деформационных граничных условий на поверхности (которые являются его условиями стационарности) и исключения переменной о переходит в Эм (е), так как преобразование объемного интеграла с использованием формулы Остроградского (см. Приложение 2) приводит Э*п2 к виду
Э*п2 (W, о, е) SSS [ 2 • Ь • • о + е • • о -— е • • 0⁰
V) . .w]dV+
(ф*ав)' dS + dS+ + const, откуда ясно, что при условиях vxexv=0 B v;

коэффициенты при (Г обращаются в нуль.
Подобным образом преобразуется Э*пз (о, и) в Эл (и).
Нельзя указанным путем преобразовать Э*пђ (ф, е х ар) в функционал Лагранжа, так как он не содержит геометрических переменных в объеме.
Функционал Э*п4 (ф, о, е, Е, П) переходит в одну из форм функционала Лагранжа
Элза (Е, Ч) . . E + Tl . .00)dV+
dS + const
с дополнительными условиями vxnxv=o, п— 2? • .ь=о в v,
(чуб — 0 [ху5 (е) — х*у5]” = 0 на S.
Функционал Э*п4а (ф, о, е) переходит, как и Э*п2 (ф, о, е), в Элз (е), если наложить геометрические дополнительные условия