Universum

Figure 2.3. Design scheme for determining the speeds and accelerations of the characteristic points of the lever contour 

 

The lever moves together with the slider 7 along the 

guide 00 perpendicular to the line passing along the axes 

of  rotation  of  the  driving  and  driven  gears.  The  lever 

contour of the gear-lever differential transmission mech-

anism (Figure 2.3) is designed so that the centers of ro-

tation of the master with the driven (,) and the centers of 

rotation of the intermediate gears (,) move mirror-sym-

metrically relative to the cross slide 7, therefore, it can 

be written 

1

4

O

O

V

V

=

,   

         (2.3) 

 

1

4

O

O

a

a

=

, 

 

         (2.4) 

 

2

3

O

O

V

V

=

,   

          (2.5) 

 

2

3

O

O

a

a

=

.   

         (2.6) 

 

by virtue of formulas (2.1) - (2.6), we write 

 

4

1





=

 

, 

1

2





 = 

, 

 

1

4





=

, 

1

2





 = 

,   

       (2.7) 

 

Where 

1





,

2





,

1





,

2





‒ angular velocities and 

angular accelerations arising from a change in the center 

distance of the working shafts 

1

O

4

O

,  hence 

 

1

4







 = 

=

 

Determine the speed and acceleration of points 

2

O

 

and 

3

O

. Lever8 (

3

4

O O

)  moves in a plane-parallel manner. 

The  directions  of  the  velocities  (

3

O

V

and 

4

O

V

)    of  the 

two points (

3

O

 and 

4

O

)  and the speed value is known 

(

4

O

V

)  points  

4

O

  lever  8 (

3

4

O O

),  therefore, one can 

find the speed (

3

O

V

)  second point (

3

O

),  having previ-

ously  determined  the  instantaneous  center  of  rotation 

(

8

P

)  this link (8)  and angular velocity (

8





)  this lever. 

 

4

8

4

8

O

V

O P





=

. 

 

           (2.8) 

 

4

8

O P

  is determined from the solution of the triangle 

4

3 8

O O P

  



sin

2

2

4

3

8

4















+

=

d

d

P

O

. 

  (2.9)

 

 

Taking  into  account  formula  (2.9),  formula  (2.8) 

takes the form 

(

)





sin

2

4

3

8

4



+



=



d

d

V

O

. 

 (2.10)

 

 

Taking  into  account  formula  (2.2),  formula  (2.10) 

takes the form 





sin

4

8



=



d

V

O

. 

 

(2.11)

 

---

№ 5 (86)                                     

                                 май, 2021 г. 

 

34 

Angular velocity (

3

O

V

)  points 

3

O

  is determined by 

the formula 

 

3

8

3 8

O

V

O P



=  

. 

          (2.12) 

Taking  into  account  formula  (11),  formula  (12) 

takes the form 

4

3

3 8

sin

O

O

V

V

O P

d



=





. 

      (2.13) 

 

Out of the triangle 

4

3 8

O O P

 

 

 

3

4

3 8

cos

2

d

d

O P



+





=











.    

  (2.14) 

 

Taking into account formulas (2) and (14), formula 

(13) takes the form 

 

3

4

O

O

V

V

ctg



=



. 

      (2.15) 

 

Point speed 

N

 

)

(

8

N

V

  in lever 8 is determined by 

the formula 

 

8

8

8

N

V

P N



=  

, 

       (2.16) 

 

where 

8

P N

  is determined by the solution of the triangle 

4

3 8

O O P

, 

 





2

2

3

2

2

4

8

sin

cos

2

1

d

d

N

P

+



=

.     

(2.17) 

 

Taking  into  account  formula  (2.2),  formula  (2.17) 

takes the form 

 

8

2

d

P N =

. 

 

       (2.18) 

Hence, 

4

8

2sin

O

N

V

V



=

. 

         (2.19) 

 

Point speed  m  (

m

V

)  in the gear wheel 4 is deter-

mined by the formula 

 

8

4

m

V

mP



=  

, 

         (2.20) 

 

4

mP

  is determined by the solution of the triangle 

4

4

mO P

 

2

2

2

4

4

4

3

1

(

)

sin

2

mP

d

d

d



= 

+

+



. 

(2.21) 

 

Taking  into  account  formulas  (2.21)  and  (2.10),  for-

mula (2.20) takes the form 

 

4

2

2

2

4

3

4

3

4

(

)

sin

(

) sin

O

m

V

d

d

d

V

d

d







+

+



=

+



. 

(2.22) 

Taking  into  account  formula  (2.2),  formula  (2.22) 

will be written 

 





sin

2

sin

4

1

2

4



+



=

O

m

V

V

. 

 

    (2.23)

 

Point speeds  m  и  n  в  master and slave (

m

V



 и 

n

V



)  

gear  wheels corresponding  to  the  contact  points of  the 

working  shafts  with  the  processed  material  is  deter-

mined by the formula 

 

4

2

2

2

4

3

4

3

4

(

)

sin

O

m

n

V

d

d

d

V

V

ctg

d

d











+

+



=

=



+

.(2.24) 

 

For a mechanism with the same cogwheels 

 

4

2

1

1 4 sin

2

m

n

O

V

V

V

ctg









=

= 



+



    (2.25) 

Thus, the final angular speeds of the working shafts 

are determined by the formula

1

1





 =

 

,       (2.26) 

where 

4

m

V

d





 =

.  

           (2.27) 

 

The (+) or (-) sign is determined depending on the 

direction.

m

V



.  For roller machines with working shaft 

diameters  D,  the  speed  of  the  point  of  contact  of  the 

working  shafts  with  the  processed  material  is  deter-

mined by the formula 

 

4

2

2

2

4

3

4

3

4

4

(

) sin

(

)

D

D

O

m

n

V

d

d

d

V

V

D ctg

d

d

d











+

+



=

=

 

+



(2.28) 

 

and by the formula 

 

4

2

4

1 4sin

2

D

D

O

m

n

V

V

V

D ctg

d











+

=

=

 



   (2.29) 

 

respectively, for mechanisms with pairwise identi-

cal (2.28) and identical (2.27) diameters of gears. 

The  acceleration of the characteristic points of the 

transmission mechanism and the working shafts of roll 

machines arising from the speed and acceleration of the 

centers of rotation of the working shafts is determined 

by the formulas 

 

1

1





 = 

,   

         (2.30) 

 

4

1

1

4

O

O

O

O

a

a

V

V

=

=

=

,  

     (2.31) 

 

4

4

8

6

8

2

3

4

sin

cos

sin

2

O

O

V

V

d

d















−

 =  = 

=

+













,(2.32) 

4

2

3

2

3

4

1

2

sin

O

O

O

O

O

O

V

a

a

V

V

V ctg









=

=

=

=

−

.    (2.33) 

 

---

№ 5 (86)                                     

                                 май, 2021 г. 

 

35 

For 

mechanism 

with 

pitch 

diameters 

2

3

4

1

d

d

d

d

=



=

, 

 

(

)

(

)

(

)

(

)

4

4

2

2

2

2

4

3

4

1

4

2

2

2

3

4

4

3

4

sin

sin

sin

O

O

m

n

m

V

d

d

d

V d ctg

a

a

V

d

d

d

d

d











+

+

− 

=

=

=

+

+

+

,

 

(2.34) 

4

2

2

4

1

4

3

4

2

2

2

2

3

4

4

3

4

(

) sin

(

) sin

sin

O

m

n

m

V

d

d

d

a

a

V

d

d

d

d

d



















 

+

+







=

=

= −



+





+

+









,

 

(2.35) 

 

(

)

(

)

(

)

(

)

4

4

2

2

2

2

4

3

4

4

2

2

2

4

4

3

4

4

3

4

sin

sin

sin

O

O

D

D

m

n

m

V

d

d

d

V d ctg

D

D

a

a

V

d

d

d

d

d

d

d











+

+

−

=

=



=



+

+

+

, 

(2.36) 

 

4

3

4

2

2

4

4

3

4

2

2

2

2

4

4

3

4

(

)

sin

(

)

sin

sin

O

D

D

m

n

V

a

a

d

d

d

d

d

D

d

d

d

d















=

= −



+





+

+





 





+

+









. (2.37) 

 

 

For 

mechanism 

with 

pitch 

diameters 

1

3

4

2

d

d

d

d

d

=

=

=

=

 

 

(

)

4

4

2

1

2

1 4sin

2sin

1 4sin

O

O

m

n

m

V

V ctg

a

a

V











+

− 

=

=

=

+

,(2.38) 

4

4

1

2

2

1

1 4sin

2

sin

1 4sin

m

n

O

a

a

V

















+

=

= −   

 





+





,(2.39) 

 

(

)

4

4

2

1

2

1 4sin

2sin

1 4sin

D

D

m

n

m

O

O

D

a

a

V

d

V

V ctg

D

d











=

=



=

+

− 

=



+

,  (2.40) 

 

4

4

1

2

2

1

1 4 sin

2

sin

1 4 sin

D

D

m

n

O

a

a

D

V

d













=

=





+

= −   











+





.    (2.41) 

 

The results of the kinematic analysis show that the 

rotational  and  symmetric  displacement  of  the  driving 

and driven working shafts was determined at the same 

angular velocities. as a result of changing the axial dis-

tances  of  the  differential  transmission  mechanism  and 

the drive gears, their gear ratios also change, which cre-

ates  a  geometric  displacement  between  the  working 

shafts and the workpiece. Thus, taking into account the 

results of the analysis performed, it is possible to reduce 

the geometric displacement between the working shafts 

and  the  workpiece  by  using  the  proposed  transmission 

mechanism.