Universiteti axborot texnologiyalari va

Qarama-qarshi tomonlar va burchaklar tengdir
Parallelogrammaning xususiyatlaridan biri shundaki parallelogrammda qarama-qarshi tomonlar va qarama-qarshi tomonlar juft bo'lib tengdir. Masalan, agar parallelogramma ABCD berilgan bo'lsa, unda AB \u003d CD, AD \u003d BC, ∠A \u003d ∠C, ∠B \u003d ∠D bo'ladi. Ushbu teorema quyidagicha isbotlangan. Parallelogramm to'rtburchaklardir. Shunday qilib, u ikkita diagonalga ega. Paralelogramma to'rtburchaklar konveks bo'lganligi sababli, ularning har biri uni ikki uchburchakka ajratadi. AB diagonali AC ni chizish orqali olingan ABCD parallelogrammada ABC va ADC uchburchaklarini ko'rib chiqing. Ushbu uchburchaklarning umumiy tomonlari bir xil - AC. BCA burchagi BC va AD parallel ravishda vertikal ravishda CAD burchagiga teng. BAC va ACD burchaklari AB va CD bilan parallel ravishda vertikal ravishda tengdir. Shuning uchun ∆ABC \u003d ∆ADC ikki burchakda va ularning orasidagi yon tomon. Ushbu uchburchaklarda AB tomoni CD tomonga, BC tomon esa AD ga to'g'ri keladi. Shuning uchun AB \u003d CD va BC \u003d AD. B burchagi D, ya'ni \u003dB \u003d ∠D burchakka to'g'ri keladi. Parallelogrammaning A burchagi ikki burchakning yig'indisidir - ∠BAC va ∠CAD. S ga teng burchak ∠BCA va ∠ACD dan iborat. Burchaklar juftlari bir-biriga teng bo'lganligi sababli, ∠A \u003d ∠C. Shunday qilib, parallelogrammda qarama-qarshi tomonlar va burchaklar teng ekanligi isbotlandi.

Diagonallar ikkiga bo'lingan
Paralelogramma to'rtburchaklar konveks bo'lganligi sababli, u ikkita ikkita diagonalga ega va ular kesishadi. ABCDga parallelogramma berilsin, uning AC va BD diagonallari E nuqtada kesishadi. Ular tomonidan yaratilgan ABE va CDE uchburchalarini ko'rib chiqing.

Ushbu uchburchaklar uchun AB va CD tomonlari parallelogrammning qarama-qarshi tomonlariga tengdir. ABE burchagi AB va CD parallel chiziqlar bilan kesishgan holda CDE burchagiga tengdir. Xuddi shu sababga ko'ra, ∠BAE \u003d ∠DCE. Shuning uchun ∆ABE \u003d ∆CDE ikki burchakda va ularning orasidagi yon tomonda. Bundan tashqari, AEB va CED burchaklari vertikal ekanligini va shuning uchun ular bir-biriga tengligini ham sezishingiz mumkin. ABE va CDE uchburchaklar bir-biriga teng bo'lganligi sababli, ularning barcha tegishli elementlari tengdir. Birinchi uchburchakning AE tomoni ikkinchi tomonning I tomoniga to'g'ri keladi, ya'ni AE \u003d Idoralar. Xuddi shunday, BE \u003d DE. Teng segmentlarning har bir juftligi parallelogrammning diagonalini tashkil qiladi. Shunday qilib, bu isbotlangan parallelogrammning diagonallari yarmida kesishish nuqtasiga bo'linadi.