Umumiy matematika

     

 5-Ta`rif.  ([4],[7], [8]) Agar   

)

,...,

,

(

2

1

n

x

x

x

f

y

  funksiya 

G

  to`plamning  

har    bir    nuqtasida    uzluksiz    bo`lsa,    bu  funksiya    shu    to`plamda      uzluksiz   

deyiladi. 

     21-misol.   Ushbu  

f(x,y)=ax+by+c    

R

c

R

b

R

a

,

,

 

 funksiyaning    R

2

   da  uzluksiz  bo`lishini   ko`rsating. 

 Yechish:           

 

>0    sonni  olamiz.  Unga  ko`ra  

d

2

  deyilsa,  u  

holda  

 

26 

2

0

2

0

0

0

,

,

,

y

y

x

x

y

x

y

x

 

tengsizlikni    qanoatlantiruvchi, 

2

0

0

R

у

х

   nuqtalarda    

.

2

2

.

,

)

(

,

,

max

 

)

(

)

(

)

(

)

,

(

)

,

(

2

0

2

0

2

0

2

0

0

2

0

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

y

y

x

x

d

y

y

x

x

y

y

y

y

x

x

x

x

b

a

d

y

y

b

x

x

a

y

y

b

x

x

a

c

by

ax

c

by

ax

y

x

f

y

x

f

 

 

tengsizlik  o`rinli  bo`ladi. Bu esa Koshi ta`rifiga ko`ra   f(x,y)   funksiyaning 

0

0

, y

x

  

nuqtada uzluksiz  bo`lishini  bildiradi. 

22 – misol.  Ushbu 

5

)

,

(

2

2

y

x

y

y

x

f

 

funksiyaning    ixtiyoriy   

2

0

0

,

R

y

x

    nuqtada  uzluksiz  bo`lishini  ko`rsating. 

Yechish:   

0

0

, y

x

      nuqtaga   

y

x,

      orttirmalar   berib,  funksiyaning 

to`liq  orttirmasini   topamiz: 

5

5

,

,

,

2

0

2

0

0

2

0

2

0

0

0

0

0

0

0

0

y

x

y

y

y

x

x

y

y

y

x

f

y

y

x

x

f

y

x

f

 

5

5

5

5

)

(

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

0

2

0

2

0

0

y

x

y

y

x

x

y

y

x

x

y

y

x

y

y

 

 

 

27 

bu   tengliklardan   

0

,

lim

0

0

0

0

y

x

f

y

x

 

bo`lishi    kelib    chiqadi.    1-tarifdan    berilgan    funksiya 

0

0

, y

х

  nuqtada  uzliksiz  

bo`ladi.                                                                                           

 

3-Teorema([7],[8]). 

 

 

 

Agar

)

,...,

,

(

2

1

n

x

x

x

f

y

 

funksiya 

G

a

a

a

a

n

)

,...,

,

(

2

1

 nuqtada  uzluksiz bo`lsa, funksiya  shu  nuqtada  har  bir 

o`zgaruvchisi  bo`yicha  ham uzluksiz  bo`ladi. 

23 – misol.  Ushbu 

0

,

0

,

0

,

2

)

,

(

2

2

2

2

2

2

y

x

y

x

y

x

xy

y

x

f

 

 

funksiya    (0,0)  nuqtada    har    bir    o`zgaruvchi    bo`yicha    xususiy    uzluksiz  ,  lekin  

shu  nuqtada  bir  yo`la  uzluksiz   emas, bu  nuqtada  hatto  limitga   ega emas. 

Yechish: Oldin   x  o`zgaruvchi  bo`yicha   uzluksizligini    ko`rsatamiz. 

Agar   

0

y

   va  

0

0

x

x

   bo`lsa,   

)

,

(

2

2

lim

)

,

(

lim

0

2

2

0

0

2

2

0

0

y

x

f

y

x

y

x

y

x

xy

y

x

f

x

x

x

x

. 

Agar    y=0   va   

0

0

x

x

   bo’lsa 

)

0

,

(

0

0

0

0

2

)

0

,

(

0

2

lim

lim

lim

0

0

0

x

f

x

x

x

f

x

x

x

x

x

x

 

Endi 

0

y

va 

0

0

x

x

 desak, 

 

28 

)

0

,

0

(

0

)

0

,

(

lim

0

f

x

f

x

x

 

bo`ladi. 

Demak,    

)

,

(

)

,

(

lim

0

0

y

x

f

y

x

f

x

x

. 

Bu      berilgan   

)

,

( y

x

f

    funksiyaning    x    o`zgaruvchisi    bo`yicha    xususiy  

uzluksiz    bo`lishini    ko`rsatadi.    Xuddi    shu   usulda  funksiyaning  y o`zgaruvchisi  

bo`yicha   ham  uzluksizligi    ko`rsatiladi. 

Berilgan    funksiya  (0,0)    nuqtada  ikkala  o`zgaruvchi    bo’yicha    bir  yo`la   

uzluksiz    emas,  chunki 

0

,

0

y

x

   da  

2

2

0

0

0

0

2

lim

)

,

(

lim

y

x

xy

y

x

f

y

x

y

x

 

mavjud    emas. 

 

Aytaylik,    (x,y)      nuqta  (0,0)  nuqtaga   tekislikdagi   y=kx  to`g`ri chiziq  bo`yicha   

intilsin. 

2

2

)

(

0

0

2

lim

y

x

xy

kx

y

y

x

2

2

0

)

(

2

lim

kx

x

kx

x

x

2

2

2

2

0

1

2

)

(

2

lim

k

k

kx

x

kx

x

 

bo`ladi.      Demak,    (x,y)    nuqta    turli    to`g`ri    chiziqlar    bo`yicha    (0,0)      ga  

intilganda    limitning    qiymati  turlicha  bo`ladi.    Bu    hol    esa    qaralayotgan  limitning   

mavjud   emasligini    bildiradi. 

2  – usul.  Yuqoridagi  funksiyani (0,0)  nuqtada   uzluksiz  emasligini,  ya`ni  

(0,0)    nuqtada  limit  mavjud  emasligini  boshqacha  yo`l  bilan  ko`rsatamiz.    (0,0)  

nuqtaga  intiluvchi   ikkita    ketma – ketlikni   qaraylik: 

 

29 

).

0

,

0

(

1

,

2

,

),

0

,

0

(

1

,

1

,

'

'

n

n

y

x

n

n

y

x

n

n

n

n

 

Bu   ketma – ketliklarda 

1

1

1

1

1

1

2

,

2

2

n

n

n

n

y

x

f

n

n

 

5

4

5

4

1

4

1

2

2

,

2

2

'

'

n

n

n

n

y

x

f

n

n

 

bo`ladi    va    berilgan    funksiyaning  karrali  limitning    mavjud    emasligini    va  (0,0)  

nuqtada    funksiya    qiymati    0    bo`lish    sharti    bajarilmadi.  Demak, 

)

,

( y

x

f

  

funksiya   (0,0)  nuqtada  uzluksiz   emas.  

6-Ta`rif.  Agar 

a

  nuqtada 

)

(x

f

  funksiyaning  limiti  mavjud  bo`lmas  yoki 

cheksiz  bo`lsa  yoki  mavjud  bo`lib  shu  nuqtadagi  qiymatiga  teng  bo`lmasa,    u  

holda   

)

(x

f

 funksiya 

a

 nuqtada uzilishga    ega   deyiladi. 

24 – misol.  

3

3

)

,

(

y

x

y

x

y

x

f

 

funksiyani    uzluksizlikka   tekshiring. 

Yechish:  Kasrning    surati    va    maxraji   

)

,

(

y

x

    o`zgaruvchining    funksiyasi  

sifatida  uzluksiz.    Funksiya    maxraji   

3

3

y

x

     nol  bo`lgan  nuqtalarda  uzilishga  

 

30 

ega bo`ladi. 

0

3

3

y

x

 tenglamani  

y

 argumentga  nisbatan  yechib,

x

y

   ni  

topamiz.  Funksiya   

x

y

 nuqtalarda  uzilishga   ega. 

Endi,   

0

,

0

0

0

y

x

   va  

0

0

0

y

x

.  Unda   

3

3

0

0

lim

y

x

y

x

y

y

x

x

2

2

1

lim

0

0

y

xy

x

y

y

x

x

2

0

0

0

2

0

1

y

y

x

x

 

Bundan  kelib  chiqadiki,   

,

0

0

x

      da     

x

y

  to`g`richiziq    nuqtalari  

tuzatish  mumkin    bo`lgan   uzilish   nuqtalari   to`plami  bo`ladi.   

Quyidagi   

3

3

0

0

lim

y

x

y

x

y

x

2

2

0

0

1

lim

y

xy

x

y

x

 

 

 funksiya   (0,0)  nuqtada   uzilishga   ega. 

7-Ta`rif. ([4],[7], [8] adabiyotlarga qarang).   Agar ixtiyoriy 

>0  uchun  

shunday  bir 

)

(

>0  topilib,   

G

  to`plamning     

)

,

(

``

`

x

x

<

  tengsizlikni 

qanoatlantiruvchi  ixtiyoriy   

'

x

  va  x

’’

  nuqtalarida   

)

(

)

(

'

''

x

f

x

f

<   tengsizlik  

bajarilsa, 

)

(x

f

 funksiya  

G

  to`plamda  tekis uzluksiz   funksiya   deb  ataladi. 

25 – misol.  Ushbu 

c

by

ax

y

x

f

)

,

(

 

funksiyaning 

R

c

R

b

R

a

y

x

R

y

x

M

,

,

,

,

:

,

2

 

to`plamda  tekis  uzluksiz   bo`lishini   ko`rsating.  

 

31 

Yechish: 

G

y

x

1

1

,

        va     

G

y

x

2

2

,

      nuqtalar    uchun 

quyidagiga  ega bo`lamiz   

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

1

1

2

2

1

1

)

(

)

(

)

(

)

,

(

)

,

(

y

y

b

x

x

a

y

y

b

x

x

a

c

by

ax

c

by

ax

y

x

f

y

x

f

 

>0  sonni olib, unga  ko`ra  olinadigan   

>0   sonda 

,

2

1

x

x

,

2

1

y

y

  

b

a

d

d

,

max

,

2

 

shart   bajarilganda 

2

2

 

)

,

(

)

,

(

2

1

2

1

2

2

1

1

y

y

x

x

d

y

x

f

y

x

f

 

bo`lib,    7  –  ta`rifdan    berilgan    funksiyaning   

G

    to`plamda    tekis    uzluksizligi  

kelib  chiqadi. 

4-Teorema  (Kantor  teoremasi [4], [7], [8]).   Agar 

)

,...,

,

(

2

1

n

x

x

x

f

y

 

funksiya  chegaralangan    yopiq   

n

R

G

  to`plamda    uzluksiz    bo`lsa,    u    holda 

funksiya   shu  to`plamda  tekis   uzluksiz   bo`ladi.  

 

 

 

 

 

 

 

32 

XULOSA 

Shunday  qilib  ko`p  o`garuvching  fuksiyasini  nuqtadagi  limiti  bir 

o`zgaruvchining  funksiyasini  limitidan  farq  qilib,    unda  o`zgaruvchi  nuqtaga 

cheksiz  ko`p  yo`nalaishlar  bo`ylab  yaqinlashar  ekan.  Bir  o`garuvchida  faqat  ikkita 

yo`nalish  bo`ylab  yaqinlashadi.  Shu  sababli  ko`p  o`zgaruvchining  funksiyasini 

limitini  hisoblash  bir  qancha  qiyinchiliklarga  ega  masaladi.  Ko`p  o`zgaruvchining 

funksiyasini  limitini  bir  o`zgaruvchiga  olib  kelib,  takroriy  limit  sifatida  hisoblash 

eng  qulay  yo`llardan  biri  ekan.  Lekin  hamma  vaqt  ham  bu  usul  qo`l kelavermaydi. 

Biz  yuqorida  qurib  ko`rsatgan  misollarimizdan  ko`rinadiki  takroriy  limitlarning 

mavjudligidan  karrali  limitning  mavjudligi  kelib  chiqavermaydi  va aksincha. 

            1-Teorema.  Agar  1) 

  da  

 funksiyaning 

karrali  limiti  mavjud: 

                                                              

 

2)  Har doim tayinlangan   

 da quyidagi 

                                                          

 

limit  mavjud  bo`lsa, u holda  

 

takroriy  limit  ham mavjud bo`lib,                  

 

bo`ladi. 

 

Funksiyaning  uzluksizligi  tushunchasi  limit  tushunchasi  bilan  chambarchas 

bog`liqdi. Uzluksizlik  tushunchasiga limit  orqali ta`rif  beriladi. 

 

33 

Foydalanilgan adabiyotlar 

1. 1. I.A.Karimov. Yuksak ma’naviyat yengilmas kuch T. “Ma’naviyat” 2008 y.,                                                                                                   

2. I.A.Karimov,  Jahon  moliyaviy  iqtisodiy  inqirozi,  O‘zbekiston  sharoitida  uni 

   bartaraf etishning yo‘llari va choralari T. “O‘zbekiston” 2009 y. 56 bet. 

3. “Barkamol  avlod  yili”  Davlat  dasturi  to’g`risidagi  O’zbekiston  Respublikasi       

    Prezidentining qarori. № 12 sonli “Ishonch” gazetasi, 2010 yil, 28– yanvar 5 b. 

4. Alimov Sh.O., Ashurov R.R. Matematik tahlil. I va II qismlar. Toshkent, 2012yil . 

5. Sadullaev A.S., Mansurov X., Xuydayberganov G., Vorisov A., G`ulomov R. 

Matematik analiz kursidan misol va masalalar to`plami. 1, 2- tomlar. Toshkent.  

“O`zbekiston”, 1996. 

6. Xuydayberganov G., Vorisov A., Mansurov X., Shoimqulov B. Matematik 

analizdan ma`ruzalar. Toshkent. “Voris nashriyoti”, 2010. 

7.  W.R.Wade

.  

“An introduction to analysis”. University of Tenessee. USA. 2000y,  

611 pp. 

8.  WWW. Ziyonet.uz