Umumiy astronomiya

§ 4.3. Nurlanish qonunlari

Har qanday temperaturaga ega bo‘lgan jism o‘zidan elektromagnit nurlanish chiqaradi. Issiqlik nurlanishi deyiluvchi bunday nurlanishning chastotasi jismning temperaturasi ortishi bilan ortib borib, taxminan 1000 K ga qadar jism infraqizil va radiodiapozonda, so‘ngra ko‘zga ko‘rinadigan diapozondagi nurlanish, qizdirish davom ettirilganda esa ultrabinafsha va rentgen diapozondagi nurlanishlar chiqadi.

Termodinamik muvozanatdagi jismlar uchun issiqlik nurlanishi qonunlari sodda ko‘rinishga ega bo‘lib, uning nurlanishi temperatura orqali aniqlanadi. Nurlanayotgan jism termodinamik muvozanatda bo‘lishi uchun u tashqi muhit bilan issiqlik almashmasligi lozim. Faqat shundagina bu jismni chegaralovchi hamma qismlarida temperatura bir xil qiymatga erishib, issiqlik muvozanati t, ya’ni termodinamik muvozanat ro‘y beradi.
Termodinamik muvozanatdagi jism absolyut qora jism deyiladi, u o‘ziga tushgan nurlanishni qaytarmaydi va sochmaydi, ammo u tushayotgan nurlanishni mutloq yutib olib, to‘liq qayta nurlaydi. Qora jism – bu real holatda mavjud bo‘lishi mumkin emas, shunga qaramay osmon obyektlarining ko‘pchiligi o‘zini xuddi ular kabi tutishadi.
Absolyut qora jismning nurlanishi faqatgina o‘zining temperaturasiga bog‘liq bo‘lib, uning shakliga, moddasiga, ichki tuzilishiga mutloq bog‘liq emas. Nurlanishning to‘lqin uzunliklari bo‘yicha taqsimoti Plank qonuniga bo‘ysinadi, u esa faqatgina tepmeraturaga bog‘lik bo‘lgan funksiyadir. Tepmeraturai bo‘lgan qora jismning chastotadagi intensivligi quyidagicha ifodalanadi:

bu erda

Itensiflikning ta’rifidan, ning o‘lchash birligi kelib chiqadi:
Qora jim nurlanishini yopiq bo‘shliqda hosil qilish mumkin, uning devorlari tushayotgan (va bo‘shliqdan chiqaytgan) barcha nurlanishni to‘liq yutishi kerak. Bo‘shliqning devorlari va nurlanish o‘zaro muvozanatda bo‘ladi, ikkalasi bir hil xaroratga ega va devorlar yutgan energiyaning barchasini nurlaydi. Nurlanish energiyasi doimo devor atomlarining issiqlik energiyasiga va undan qayta nurlanishga aylangani uchun, qora jismning nurlanishi yana issiqlik nurlanishi deyiladi.
Plank qonuni (4.14) bilan belgilanadigan qora jism spektri uzliksizdir. Bu haqiqiy bo‘ladi agarda nurlovchi jismning o‘lchami asosiy to‘lqin uzunligiga nisbatan juda katta bo‘lsa. Bo‘shliq holatida buni bo‘shliqda qamalgan turg‘un to‘lqinlar nurlanishi sifatida qarab, tushuntirsa bo‘ladi. To‘lqin uzunliklar bo‘shliq o‘lchamiga nisbatan qancha kichik bo‘lsa, turli to‘lqin uzunliklarning soni shuncha ko‘p bo‘ladi. Qattiq jismlarning spektrlari uzliksiz bo‘lishini yuqorida aytib o‘tganmiz; qo‘p hollarda bunday spektrlar Plank qonuni bilan juda yahshi ifodalanadi (approksimatsiyalanadi).
Plank qonunini to‘lqin uzunligi bo‘yicha funksiya sifatida ham yozishimiz mumkin. Buning uchun talab etishimiz kerak bo‘ladi: . Chastota kattalashganda, to‘lqin uzunligi kichiklashadi, shuning uchun bu erda minus belgisi mavjud. bo‘lganligi sababli, yozishimiz mumkin:

bu erda

yoki

va funksiyalari shunday ifodalanadiki, ularning biri yordamida to‘liq intensivlikni topish mumkin bo‘ladi:

Ushbu integrallarning birinchisidan foydalangan holda to‘liq intensivlikni topib ko‘ramiz:

Endi biz integral ostidagi o‘zgaruvchanni ga o‘zgartiramiz, undan

Bu ifodadagi aniq integral tepmeraturaga bog‘liq bo‘lmagan faqat bir haqiqiy sondir. Shuning uchun quyidagini topgan bo‘lamiz:

bu erda konstanta quyidagiga teng:

(Ushbu qiymatini topish uchun integralning qiymatini hisoblashimiz kerak bo‘ladi. Ammo buning uchun hech qanday elementra usuli mavjud emas. Nazariy fizikachilarga juda qo‘l keladigan ekzotik funksiyalar bilan yaxshi tanish bo‘lganlarga biz shuni aytishimiz kerakki, bu integralni ko‘rinishida ifodalasa ancha oson bo‘ladi. Bu erda – Rimanning zeta funksiyasi va – gamma finksiyadir. Integral qiymatlariga o‘tsak, bu oddiy faktorial . Qiyinroq qismi bu . Buni Fure-qator sifatida kengaytirish va bu qatorni hisoblash orqali amalga oshirsa bo‘ladi).
Intensivligi bo‘lgan izotrop nurlanishning oqimi zichligi (4.1-bo‘limga qara):

yoki

Bu Stefan-Bolsman qonuni, va bu Stefan-Bolsman doimiysidir,

Stefan-Bolsman qonunidan yulduzning yorqinligi va temperaturasi orasidagi bog‘lanishga kelamiz. Agarda yulduzning radiusi bo‘lsa, uning sathi yuzasi bo‘ladi va agarda oqim zichligini deb olsak, quyidagiga ega bo‘lamiz:

Agarda yulduz qora jism singari nurlaydi deb qabul qilsak, unda bo‘ladi va undan quyidagiga kelamiz:

Aslida bu yulduzning effektiv tepmeraturasini belgilaydi, buni biz keyingi bo‘limda batafsil muhokama qilamiz.
Yulduzning ravshanligi, radiusi va tepmeraturasi o‘zaro bog‘liq kattaliklardir, buni biz (4.21) dan ko‘rishimiz mumkin. Ular yulduzning absolyut bolometrik yulduz kattaligiga ham bog‘lik.
(4.13) tenglamasi yulduz va Quyoshlarning absolyut bolometrik kattaliklari orasidagi ayirmani beradi:

Ammo biz endi (4.21) dan foydalanib, ravshanliklarni radiuslar va tepmeraturalar birliklarida ifodalashimiz mumkin:

4.7-Rasm. Absolyut qora jism nurlanishining 12,000 K, 9000 K va 6000 K tepmeraturalardagi intensivliklari taqsimotlari.

4.7-rasmdan ko‘rishimiz mumkinki, maksimal intensivlikning to‘lqin uzunligi umumiy intensivlikning ko‘payishi bilan kichiklashar ekan (egri chiziq ostidagi yuzaga teng). Plank funksiyasini ga nisbatan differensiallash va hosilaning nol qiymatini aniqlash orqali maksimal intensivlikga mos keladigan to‘lqin uzunligini topishimiz mumkin. Natijada Vinning siljish qonuniga kelamiz:

bu erda Vinning siljish doimiysi teng:

Biz huddi shu protsedurani funksiyasining maksimumini topish uchun qo‘llashimiz mumkin. Ammo bu yo‘l bilan topilgan chastotasi (4.24) beraligan chastotasidan farq qiladi. Buning sababi shundan iborat-ki, intensivliklar chastota birligi yoki to‘lqin uzunligi birligida berilgan, shu bilan birga chastota va to‘lqin uzunliklari orasidagi bog‘lanish nochiziqlidir.
To‘lqin uzunlik maksimumga yaqin yoki dan ancha katta bo‘lganda Plank funksiyasi soddaroq ifodalar yordamida approksimatsiyalanishi mumkin. (yoki ) bo‘lganda, quyidagiga egamiz:

Bu holda Vinn approksimatsiyasiga ega bo‘lamiz:

bo‘lganda, quyidagiga egamiz:

bu esa o‘z navbatida Reley-Djins approksimatsiyasini beradi

Bu ayniqsa radioastronomiyada juda qo‘l keladi.
Klassik fizika faqatgina Reley-Djins approksimatsiyasini aytib bera oladi. Agarda (4.26) barcha to‘lqin uzunliklari uchun haqiqiy bo‘lganda, to‘lqin uzunlik nolga yaqinlashganda, intensivlik, kuzatuvlarga qarama-qarshi bo‘lib, barcha chegaralar ortida ham oshgan bo‘lar edi.

15-Ma’ruza. Spektral qurilmalar. Astrospektroskopiya: spektral tahlil, Dopler effekti.