Учунчи босқичга эса исботлашга доир масалаларни киритиш мумкин

8.3. Amaliy mashg‘ulot
Geometriya kursida ko‘pburchaklar va ko‘pyoqlilarni, yuza va hajmlarni o‘qitish metodikasi

Кўпёқларга доир масалаларни ечишни асосан уч босқичда ўрганилади. Бирнчи босқичда кўпёқларнинг элементларини ҳисоблашга доир масалалар кўрилади. Масалан: призма ва пирамиданинг чизиқли элементлари қуйидагилардан иборат: асос томони, ён қирра, ён ёқ апофемаси, асосга ички ва ташқи чизилган шарларнинг радиуслари ва хокозолар киради. Шунингдек, асос, ён ёқ ва тўла сиртлар, ҳажмлар, кўпёқ учидаги чизиқли бурчаклар, икки ёқли бурчаклар ва х.к.каби элементларини ҳисоблашлар ҳам биринчи босқич элементларига киради. Шуни қайд қилиш керакки, призмалар учун ички чизилган шарлар ҳар доим мавжуд эмас.

Иккинчи босқида кесимларга оид масалалар қаралади. Бошқача айтганда, бундай масалаларга бирор кўпёқни текислик билан кесимини ясаш ва бу кесим турини аниқлашлар киради.
Учунчи босқичга эса исботлашга доир масалаларни киритиш мумкин.
Бу бобда биз икки ёқли бурчак, уч ёқли бурчак ва кўп ёқли бурчаклар, кўпёқ, призма ва унинг тасвири, параллелапипед ва унинг хусусиятлари, пирамида, кесик перамида ва мунтазам кўрёқларга оид масалаларни ечимларини келтирамиз.

1. 
   Икки ёқли бурчакнинг ёқларида ётган А ва В нуқталардан бурчакнинг қиррасига АА₁ ва ВВ₁ перпендикулярлар тушурилган.
   

Агар АА₁=3, ВВ₁=4, А₁В₁ =6, АВ=7 бўлса, икки ёқли бурчак ни топинг.
Б ерилган.
АА₁=3
ВВ₁=4
А₁В₁=6
АВ=7
________
-?
Ечилиши. А₁С//ВВ₁ ва СВ// А₁В₁ тўғри чизиқларни ўтказамиз. А₁СВВ₁ тўртбурчак пареллелограмдир. Демак, СВ=А₁В₁=6. тщ-ри бурчакли АВС учбупрчакда АС= . Косинуслар теоремасига кўра

Бу ердан, =60^o Жавоб: 60^о
3. Уч ёқли бурчакнинг битта ясси бурчаги га, унга ёпишган икки ёқли бурчаклари га тенг. Қолган иккита ясси бурчакни ва бурчак текислиги билан қаршидаги қирра ташкил этадиган бурчакни топинг.
Берилган.

Ечилиши. бурчак қаршисидаги бурчак текислиги SA перпендикуляр, унинг томонларига SB₁ SC перпендикуляр туширамиз.Уч перпендикуляр ҳақидаги теоремага кура АВ ОВ, АС ОВ.
Катет ва қаршисидаги бурчагига кўра тўғри бурчакли CSA учбурчак SBA учбурчакка тенг, шунинг учун AB=AC. Бундан, АОВ= AOC, шунинг учун,
AOC= AOB= ( )

4. Уч ёқли бурчакнинг иккита ясси бурчаги ўткир ва га тенг, учинчи бурчаги эса на тенг. Ясси бурчаклар қаршисида ётган икки ёқли бурчакларни ва текислик билан қаршисидаги қирра орасидлаги бурчакни топинг.
Берилган.

Ечилиши. 3-масаладаги мулоҳазаларга кўра, қуйидагиларни ёзиш мумкин:

5. Призманинг асосига параллел кесимлар асосларига тенг эканини исботланг.
Исботи. Маълумки, призманинг асослари
тенг ва ён қирралари параллел,
шунга кўра АА₂Д₂Д параллелограмм,
шунинг учун АА₂//ДД₂. Ясалишига кўра
АД//А₂Д₂. Демак, АД=А₂Д₂. кесимнинг қолган
томонларининг ҳам призма асосининг мос томонларига
тенглигини худди шундай кўрсатиш мумкин. Демак, призманинг асосига параллел кесим асосига тенг экан.
7. Тўртбурчакли призманинг асоси иомонидан ва бошқа асосининг бирор учидан ўтувчи текислик кесимни ясанг.
Ечилиши. Тўртбурчакли АВСДА₁В₁С₁Д₁ призма берилган бўлсин.
И зланаётган кесим бу призманинг АВСД асосининг АВ томонидан ва иккинчи асосининг Д₂ учидан ўтсин. Биз бу кесимнинг В₁С₂ томонни қайси нуқтада кесиб ўтишини топишимиз керак. Бунинг учун А нуқтадан ВД₁тўғри чизиққа нисбатан симметрик кўчириш етарли. Натижада АВХД₁кесиш ҳосил бўлади.
8. Тўртбурчаклт призманинг ёне қирраларидаги учта нуқта орқали ўтувчи текислик билан кесимни ясанг.
Ечилиши.
Тўртбурчакли А₁В₁С₁Д₁А₂В₂С₂Д₂ призма берилган бўлсин. Бу призманинг А,В,С нуқталари орвали ўтувчи текислик билан кесимни ясаш керак бўлсин. Аввал бу кесувчи текисликнинг изини топайлик. Бунинг учун АВ ва А₂В₂ тўғри чизиқларни туташтириб М нуқтани ҳосил қиламиз. Худди шундай N нуқтани топиб, MN тўғри чизқни ҳосил қиламиз. Бу тўғри чизиқ изланаётган кесувчи текисликнинг асос текислигидаги изи бўлади. А₁Д₁тўғри чизиқни MN тўғри чизиқ билан туташтириб, К нуқтани оламиз. КА тўғри чизиқни давом эттириб, Д нуқтани топамиз. Натижада АВСД кесим ҳосил бўлади.
10. Тўғри учбурчакли призмада асосининг томонлари 10см, 17см ва 21 см, баланндлиги эса 18см. Призманинг ён қирраси ва асосининг кичик баландлиги орқали ўтказилган кесимнинг юзини топинг.

Берилган:
тўғри учбурчакли призма

Ечилиши. ДД₁-призманинг баландлиги, чунки АВВ₁А₁ ёқ асос текислигига перпендикуляр. Шунинг учун .

Системани ечиб, ни ҳосил қиламиз.

Жавоб: 144см²
12. Оғма учбурчакли призмада ён қирралари орасидаги масофа 37см, 13см ва 40см га тенг. Катта ён ёғи билан қаршисида ётган ён қирра орасидаги масофани топинг.
Берилган:
АВ=13см
ВС=37см
АС=40см
_________
ВД-?
Ечилиш. Изланаётган масофа ВД кесманинг узунлигига тенг. Демак, ВД кесмани топамиз. АВС учбурчпак учун ВД кесма баландликдир, шунинг учун
система ўринли. Бу системадан ВД ни топиш мумкин. ВД=12см.
Жавоб:12см.
13. Призманинг асоси томони а га тенг мунтазам олтибурчак ён ё-и квадратлардан иборат. Призманинг диогоналлрини ва унинг диогонал кесимлариюзларини топинг.
Ечилиши. Призманинг диогонал кесимлари тўғри тўртбурчаклардан иборат бўлиб, уларнинг асослари призма асосларининг диогоналлари, баландлиги эса призманинг баландлиги бўлади. Асосининг диогоналларидан каттаси 2а га, кичиги га тенг. Призманинг баландлиги асосининг томонига а га тенг эканлиги учун дтогонал кесимоарининг юзлари 2а²га ва га тенг. Призманинг диогоналлари диогонал кесимларнинг диогоналларидир. Пифагор теоремасига кўра, призманинг диогоналлари қуйидагиларга тенг.

14. Ён ёқлари квадратлардан иборат олтибурчакли мунтазам призманинг остки асосининг томони ва юқори асосининг унга қарши ётган томони орқали текислик ўтказинг. Асосининг томони а га тенг. Ясалган кесимнинг юзини топинг.
Ечилиши. Кесим ВА ва Е₁Д₁ параллел тўғри чизиқлар орқали ўтади. АВ ва Е₁Д₁ қирралар кесимда кўпбурчак
томонлари ҳисобланади. Бу кўпбурчак
нинг СС₁Д₁Д ёқда ётган Д₁Х томонини
топамиз. Д₁Х тўғри чизиқда биз
битта Д₁ нуқтани биламиз.
Иккинчи нуқта АВ ва СД тўғри чизиқларнинг кесишган нуқтаси К бўлади. Бу нуқта СС₁Д₁Д ёқ текислигида ётади, демак, уларнинг кесишган тўғри чизиғи Д₁Х да ётади. Д₁, К нуқталарга тўғри чизиқ билан туташтириб, Х нуқтани ҳосил қиламиз. Д₁Х кесма кесимнинг СС₁Д₁Д ёқдаги томонидир. Шунга ўхшаш У нуқтани топамиз. Кесимда изланаётган кўпбурчак АВХД₁Е₁Удир.
Энди кесимниг юзини топамиз. Призма асосидаги олтибурчак кесимдаги олтибурчакнинг ортогонал проекциясидир. Шунинг учун кесимнинг юзи эса кесувчи текисликнинг асос текислиги билан ҳосил қилган бурчаги.
бўлгани учун (уч перпендикуляр ҳақидаги теорема). Шунинг учун (а радиусли айланага ички чизилган мунтазам учбурчакнинг томони) бўлгани учун . Шунинг учун Призма асосининг юзи га тенг. Шундай қилиб, кесим юзи:

15. Учбурчакли мунтазам призма остки асосининг томони орқага ён ёқлари билан бурчак ташкил этувчи тўғри чизиқлари бўйича кесиб ўтувчи текислик ўтказилган. Бу текисликнинг призма асосига оғиш бурчагини топинг.
Ечилиши. АВД тенг учбурчакда ДС баландлиги туширамиз. Уч препендикуляр ҳақидаги теоремага кўра,
Демак, изланаётган бурчак дир.
АВД тенг томонли учбурчак бўлгани учун
АС=СВ, шунинг учун .
Бундан, дан,
Жавоб:
16. Тўртбурчак мунтазам призма асосининг иккита қўшни томонларининг ўрталари орқали учта ён қиррани кесиб ўтадиган ва асос текислигига бурчак остида оғишган текислик ўтказтлган. Асосининг томони а га тенг. Ҳосил бўлган кесимнинг юзини топинг.
Берилган.

Ечилиши. Аввал E, F, N, L, M нуыталарнинг бир текисликда ётишини исбртлаймиз.

Ҳақиқаттан, диогонал кесимни MN бўйича кесади ва диогонал кесимида ётгани учун тўғри чизиқ билан О нуқтада кесгани учун изланаётган бурчак дир. ЕҒВСД бешбурчак нинг проекцияси.

18. Тўртбурчакли мунтазам призма ён ёғининг юзи Q га тенг. Диогонал кесимининг юзини топинг.
Б ерилган.

Ечилиши.
АВСД квадрат бўлгани учун,
Демак,

Жавоб:
1 9. Тўртбурбурчакли мунтазам призма асосининг томони 15га, баландлиги 20 га тенг. Асосининг томнидан уни кесиб ўтмайдиган призма диогоналигача бўлган энг қисқа масофани топинг.
Берилган.
АВ=ВС=СД=АД=15
ДД₁=АА₁=ВВ₁=СС₁=20
ДК-?
Ечилиши. А₁С диогонал орқали АДга параллел текислик ўтказамиз. Бу текислик А₁ВСД₁ бўлади. АД бу текисликка тегишли эмас. АД//ВС бўлгани учун АД томон А₁ВСД₁ текисликка параллел бўлади. АД//А₁ВСД₁ бўлгани учун АД тўғри чизиқдаги ихтиёрий нутадан А₁ВСД₁ кесимгача бўлган масофалар ўзаро тенг бўлади. ва ДК баландлик туширамиз. ДК кесма АД тўғри чизиқдан А₁ВСД₁ кесимгача бўлган масофа бўлади.

Бу ердан ДК=12. Жавоб: 12
2 0. Учбурчакли тўғри призманинг ҳамма қирралари тенг. Ён сирти 12м²га тенг. Баландлигини топинг.
Берилган.

Ечилиши. Маълумки, бу ерда p=3h, демак,
Жавоб: 2м.
21. Тўртбурчакли мунтазам призманинг ён сирти 32 м²га, тўла сирти эса 40м² га тенг. Баландлигини топинг.
Берилган.

Ечилиши. Соддалик учун призма асосининг томонини а, баландлигини дейлик, у ҳолда

Жавоб= 4м.
24. Асосиниг а томони ва в ён қиррасина кўра 1) учбурчакли 2) Тўртбурчакли, 3) Олтибурчакли мунтазам призманинг тўла сиртини топинг.
1 ) Берилган.

Ечилиши.

2) Берилган.


3) Олтибурчакли мунтазам призманинг тўла сирти ҳам юқоридагига ўхшаш ўтказилади.

2 5. Учбурчакда мунтазам призма асосининг томони ва бу томон қаршисидаги қирранинг ўртасидан ўтадиган текислик билан 15⁰ли бурчак ташкил этади. Асосининг томони k га тенг. Призманинг ён сиртини топинг.
Берилган.

Ечилиши. КС тенг томонли АВС учбурчакнинг баландлиги, шунинг учун

Тўғри бурчакли КСД учбурчакдан,

Жавоб:
26. Паралелепипеднинг учта ёғининг юзлари 1м₂, 2м₂, 3м₂ га тенг. Паралилепипеднинг тўла сиртини топинг.
Ечилиши: Паралелепипеднинг қарама-қарши ётган ёқлари тенг ва, демак, юзлари тенг бўлгани учун берилган паралелепипеднинг тўлиқ сирти

Жавоб:
31. Тўғри паралелепипееднинг асоси томонлари 3 см ва 5 см. Асосининг диогоналларидан бири 4см. Паралелепипеднинг кичик диогонали асос текислиги билан 60⁰ли бурчак ташкил этишини билган ҳолда катта диогоналини топинг.
Б ерилган.

Ечилиши. Асосининг иккинчи диогоналини топинг. Асос параллелограмдан иборат, параллеллограмм диогоналлари квадратларининг йиғиндиси унинг томонлари квадратларининг йиғиндисига тенг, шунинг учун.

А₁С диогонални топиш учун А₁С₁С учбурчакни ечиш талаб қилинаи. Учбурчак ВВ₁Д дан
Учбурчак А₁СС₁ дан,
Жавоб: 10.
32. Ҳар бир қирраси а га тенг, асосининг бурчаги 60⁰ га тенг бўлган тўғри паралелепипеднинг диогоналларини топинг.
Б ерилган.

Ечилиши. тенг томонли, чунки АВ=АД ва
Демак, ДВ=а. ВДД дан бундан
Тўғри бурчакли
Бундан
Жавоб:
33. Тўғри паралилипипеднинг ён қирраси 5 м га, асосининг томони 3м ва 8 м га, асосининг диогоналларидан бири 12м га тенг. Паралелепипеднинг диогоналларини топинг.
Берилган.

Ечилиши. Д₁В ни топиш учун тўғри бурчакли Д₁В₁В учбурчак учун Пифагор теоремасидан фойдаланамиз:

Параллелограмнинг хоссасига кўра,
учун Д₁К кесма меданадир, чунки А₁К=КС, шунинг учун

Ёки берилганларга кўра, бу ердан
Тўғри бурчакли А₁С₁С учбурчак учун Пифагор теоремасини қўлласак, А₁С=9 эканлиги келиб чиқади.
Жавоб: 13м, 9м.
34. Тўғри паралелепипеднинг ён қирраси 10дм, асосининг томонлари 23дм ва 11 дм га тенг, асосининг диогоналлари эса 2:3 каби нисбатда. Диогонал кесимларининг юзларини топинг.
Б ерилган.

Ечилиши. Д₁С кесма А₁Д₁С₁ учбурчак учун медианадир, шунинг учун

Тенгликларни ҳисобга олсак бўлади, шунга кўра, ёкиберилганларга кўра
бу ердан

Жавоб: 2м², 3м²
3 6. Кубнинг қирраси а га тенг. Кубнинг бир учидан қолган икки учини тугаштирувчи диогоналгача бўлган масофани топинг.
Берилган.

Ечилиши. Сўралган масофани топиш учун АД₁В учбурчакни ечамиз. АК кесма шу учбурчак учун баландликт бўлса, шу баландликнинг топамиз. А₁АД₁ тўғри бурчакли учбурчкдан:

Жавоб:
38. Тўғри бурчакли паралилипипеднинг учта ўлчови бўйича сиртини топинг: 10см, 22см, 16см.
Б ерилган.

Ечилиши.

Жавоб:
39. Агар тўғри бурчакли паралелепипеданинг баландлиги h, асосининг юзи Q, диогонал кесимнинг юзи М бўлса, унинг ён сиртини топинг.

Б ерилган.

Ечилиши. Маълумки, демак, йиғиндини топишимиз керак. Тўғри бурчакли А₁АС ва D₁BC учбурчаклардан А₁С нитопайлик. Пифагор теоремасига кўра.

Демак,

Бу ерда кўпайтма, шартга кўра Q га тенг эканидан

Жавоб:
40. Тўғри бурчакли паралелепипеднинг бир учида учрашган уч ёғининг диогоналлари а,b,cга тенг. Паралелепипеднинг чизиқли ўлчовларини топинг.
Ечилиши. Паралелепипеднинг чизиқли ўлчовларини х,у,z дейлик, у ҳолда қуйидаги система ўринлидир:

Дастлабки иккита тенгламани ҳадма-ҳад қўшиб, учинчисини айириб,
ни ҳосил қиламиз. Худди шундай,

41.Пирамиданинг асоси тенг ёнли учбурчак бўлиб, бу учбурчакнинг асоси 12см, ён томонлари 18см. Ён ёқлари асос билан ҳар бири 45⁰дан бўлган учбурчаклар ташкил қилади. Баландлигини топинг.
Берилган.

Е чилиши. лар тўғри бурчакли ва улар бир катети ва бир ўткир бурчаги бўйича тенг, шунинг учун КO=MO=DO тенгликлар ўринли, (бу тенгликлар бурчакнинг 45⁰ га тенг эканлигидан ҳам кўриниб турибди) КО, МО, ДО кесмалар пирамида асосининг мос томонларига перпендикуляр, яъни юқоридаги мулоҳазалардан бу кесмалар ички чизилган айлананинг радиуслари эканлиги келиб чиқади. Герон формуласига кўра, пирамида асосининг юзи 48см га, параметри эса 18см га тенг бўлгани учун ички чизилган айлана радиуи

тенг ёнли эканлигидан, r=KO=SO=3см.
Жавоб: 3см.
42. Пирамиданинг асоси томонлари 6 см ва 8 см га тўғри тўртбурчак. Пирамиданинг ҳар бир ён қирраси 13см га тенг. Пирамиданинг баландлигини топинг.
Б ерилган.

Ечилиши. Ҳамма ён қирралари тенг бўлгани учун асосининг учлари пирамида баландлигининг асосидан бир хил масофага, яъни ташқи чизилган айлананинг маркази бўлган диогоналларнинг кесишган нуқтасида бўлади. АВСД тўғри тўртбурчакнинг диогоналлари

Демак, АС=5см. Пифагор теоремасидан,
экани келиб чиқади.
Жавоб: 12см.
43. Пирамиданинг асоси мунтазам учбурчакдан иборат, ён ёқларидан бири асосга перпендикуляр, қолган иккитаси асосга буррчак остида оғишган. Ён қирралари асос текислигига қандай оғишган?
Б ерилган.

Ечилиши. мунтазам бўлгани учун унинг томонини бирор билан белгилаймиз. дан ўрта чизиқ бўлгани учун га тенг.

Жавоб:
44. Пирамиданинг асоси гипотенузасининг га тенг бўлган тўғри бурчакли учбурчакдан иборат. Ҳар бир ён қирраси асос текислиги билан бурчак ташкил қилади. Пирамиданинг баландлигини топинг.
Б ерилган.

Ечилиши. Тўғри бурчакли AOS, BOS, COS учбурчаклар бир катети ва бурчаги бўйича тенг. Демак, AO=CO=BO. Бундан 0 нуқта ташқи чизилган айлананинг маркази эканлиги келиб чиқади. Маълумки, тўғри бурчакли учбурчакка ташқи чизилган айлананинг радиуси гипотенузанинг ярмига, бизнинг мисолда га тенг.
Демак,
Жавоб:
45. Пирамиданинг асоси – катетлари 8см ва 6см бўлган тўғри бурчакли учбурчак. Пирамида асосидаги ҳамма икки ёқли бурчаклар 60⁰дан. Пирамиданинг баландлигини топинг.
Берилган.

Ечилиши. Пифагор теоремасига кўра,
41-масалага ўхшаш, ҳисоблаб, r=2см ни ҳосил қиламиз. Тўғри бурчакли ,
Жавоб:
47. Пирамиданинг асоси – диогоналлари 6м ва 8м га тенг ромб пирамиданинг баландлиги ромбдиогоналларининг кесишган нуқтасидан ўтади ва 1мга тенг. Пирамиданинг ён сиртини топинг.
Б ерилган.

Ечилиши. Ромбнинг хоссасига кўра, бу ерда d₁, d₂ лар ромбнинг диогоналлари, а эса унинг томони, демак,

Бу ердан, а=5м.

Пирамиданинг ён сиртини топиш учун ниннг юзини топиб, уни 4 га кўпайтириш етарли шуниг учун

SDC учбурчакнинг юзи учта томонга кўра, Герон формуласидан топилади.
Жавоб: 26м²
48. Пирамиданинг асоси – томонлари 40см, 25см, 25см бўлган тенг ёнли учбурчак. Пирамиданинг баландлиги 40смли томон қаршисидаги учдан ўтади ва 8 см га тенг. Пирамидангинг ён сиртини топинг.
Б ерилган.

Ечилиши. Пирамиданинг ёр сиртини формула бўйича излаймиз. бу ерда
Демак,

Жавоб:
49. Пирамиданинг асоси – квадрат, баландлиги асосининг учларидан бири орқали ўтади. Агар пирамида асосининг томони 20дмга, баландлиги эса 21 дмга тенг бўлса, унинг ён сиртини топинг.
Б ерилган.

Ечилиши.
бўлгани учун пирамиданинг ён сирти
Жавоб:
50. Пирамиданинг учидан ва унинг асосидаги икки нуқтадан ўтувчи текислик билан кесишини ясанг.