Учебное пособие Пермь ипц «Прокростъ» 2017 удк

Необходимость – из уравнения движения 
k
⃗⃗⃗
k
⃗
k
⃗⃗⃗
k 
следует, что в случае равновесия, поскольку ускорения всех 
точек равны нулю, выполняется равенство 
⃗
k
⃗⃗⃗
k
Геометрическая сумма сил, приложенных к каждой точ-
ке, равна нулю. Сообщим теперь системе виртуальное пере-
мещение. Умножим равенство на 
⃗
k
и просуммируем по точ-
кам. Получим
∑
⃗
k
⃗
k
∑
⃗⃗⃗
k
⃗
k
. 
Поскольку связи идеальные, второе слагаемое правой ча-
сти уравнения обращается в нуль, и окончательно получаем 
∑
⃗
k
⃗
k
(7.7) 
- условие необходимости. 
Достаточность. Исходим из предложения, что сумма 
работ всех активных сил системы на любом ее виртуальном 
перемещении равна нулю, и система в момент t
о 
покоится: 
∑
⃗
k
⃗
k
⃗
k
o
Связи системы стационарные, удерживающие. 
Исходя из принципа виртуальных перемещений, Ла-
гранж построил всю статику и дал новый метод решения за-
дач. 
Равновесие систем с нестационарными связями возмож-
но лишь в отдельных случаях. 
 
7.3. Применение принципа виртуальных перемещений 
Выведем сначала вспомогательную формулу для работы 
сил, приложенных к абсолютно твердому телу, перемещаю-
щемуся в пространстве. Твердое тело представляем себе как 

---

157 
совокупность малых частиц (материальных точек), и пусть к 
частице 
k
приложена сила 
⃗
k
⃗
e
k
⃗
i
k 
– геометрическая 
сумма внешних и внутренних сил. Элементарная работа сил 
на произвольном бесконечно малом перемещении тела 
∑
k
⃗
k
∑
⃗
k
⃗
k
∑
⃗
k
⃗
o
⃗⃗⃗ ⃗
k
∑
⃗
k
⃗
o
⃗⃗⃗ ∑
⃗
k
⃗
k
⃗
k
⃗⃗⃗ ⃗
k
⃗⃗⃗ ⃗
k
⃗
k
из векторной алгебры). 
Здесь 
⃗
o
– скорость полюса – точки О тела, выбор кото-
рой произволен; 
⃗⃗⃗ угловая скорость вращения тела. 
По свойству внутренних сил ∑
⃗
i
k
∑ ⃗
k
⃗
i
k
так что окончательно имеем 
⃗
e
⃗
o
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
e
o
,
(7.8) 
где 
⃗
е 
– главный вектор внешних сил, 
⃗⃗⃗⃗
е
о 
– их главный мо-
мент относительно полюса О. 
Воспользуемся формулой (7.8) для вывода условия рав-
новесия абсолютно твердого тела. Согласно принципу воз-
можных перемещений, условием равновесия является выпол-
нение равенства 
: 
⃗
e
⃗
o
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
e
o
.
(7.9) 
Рассмотрим частные случаи:
1) 
тело свободное; 
⃗
o 
и 
⃗⃗⃗
можно взять произвольно, и 
поэтому 
⃗
e
⃗⃗⃗
e
o
(7.10) 
Необходимое и достаточное условие равновесия сво-
бодного твердого тела состоит в равенстве нулю главного 
вектора и главного момента приложенных к телу сил (момент 
относительно любой неподвижной точки); 
2) 
точка О тела закреплена: 
⃗
o
Формула (7.9) 
приобретает вид 
⃗⃗⃗
e
o
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ произвольный 
вектор 
⃗⃗⃗
e
o

---

158 
Для равновесия твердого тела с одной закрепленной 
точкой необходимо и достаточно, чтобы главный момент 
приложенных активных сил относительно закрепленной точ-
ки тела равнялся нулю и чтобы тело находилось в покое в 
начальный (после приложения сил) момент. 
Принцип виртуальных перемещений применяется и в 
случае неидеальных связей. Если, например, есть сила тре-
ния, то ее следует отнести к активным силам. 
При помощи этого принципа можно определять и реак-
ции идеальных связей. Связь мысленно отбрасывают и заме-
няют ее реакцией, которую рассматривают затем как актив-
ную силу. 
Принцип применим как к голономным, так и к неголо-
номным системам.