Учебное пособие "Методика преподавания математики"

Иррациональные уравнения и неравенства.  Иррациональным уравнением называют уравнение, в котором неизвестная величина содержится под знаком радикала. Область допустимых значений неизвестных иррационального уравнения состоит из тех значений неизвестного, при которых неотрицательны все выражения, стоящие под знаками радикалов четной степени.
Решение иррационального уравнения возведением в степень. Один из способов решения иррационального уравнения заключается в последовательном возведении обеих частей уравнения в степень, являющуюся наименьшим общим кратным показателей всех радикалов, входящих в данное уравнение. Если степень, в которую возводится уравнение, четная, то полученное уравнение может иметь корни, не являющиеся корнями исходного уравнения. Поэтому необходима проверка корней.
Некоторые специальные приемы решения иррациональных уравнений. В некоторых случаях можно освободиться от иррациональности в уравнении умножением обеих частей уравнений на некоторое не обращающееся в нуль выражение. Например, решить уравнение

Решение. Умножим обе части уравнения на выражение

являющееся сопряженным левой части уравнения (*). После приведения подобных членов получаем уравнение

которое эквивалентно исходному, так как уравнение

действительных корней не имеет. Складывая уравнения (*) и (**), получаем

Возводя последнее уравнение в квадрат, получаем квадратное уравнение

корни которого x₁=-8/3, x₂=1. Делая проверку, убеждаемся, что оба корня являются корнями исходного уравнения. Ответ: x₁=-8/3, x₂=1.
Введение вспомогательных неизвестных в ряде случаев позволяет перейти от иррационального уравнения к системе рациональных уравнений.
Решение иррациональных уравнений методом выделения полного квадрата в подкоренных выражениях.
Например, решить уравнение

Решение. Обозначим тогда исходное уравнение приобретает вид

Так как под радикалами в левой части уравнения (*) стоят полные квадраты, то уравнение сводится к следующему уравнению |t+1|-|t-1|=1.
Единственным корнем этого уравнения является t = 0,5. Возвращаясь к исходному неизвестному, получаем уравнение , корнем которого является х = 2,25 [19].