Учебное пособие "Методика преподавания математики"

7. Методика введения иррациональных чисел
В математике существуют различные построении теории действительных чисел (по Дедекинду, Вейерштрассу, Кантору и др.). Однако все эти построения являются сложными (не случайно, что в математике они окончательно оформились лишь во второй половине XIX в.). Имеются попытки относительно строгого построения действительных чисел для учащихся математических классов, кружковой работы, но они не пригодны для массовой школы. Вместе с этим понятие действительного числа (как бесконечной десятичной дроби), основные факты теории действительных чисел доступны учащимся уже в VII-VIII классах. В настоящее время наблюдается тенденция более раннего завершения изучения действительных чисел. Программа рекомендует знакомить с представлением рациональных чисел в виде бесконечной десятичной дроби в VI классе, с понятиями иррационального и действительного чисел в VIII классе. В дальнейшем к рассмотрению действительных чисел на более высоком уровне строгости в средней школе не возвращаются. Раннее изучение действительных чисел ускоряет формирование у учащихся цельной системы знаний о числах, полнее обеспечивает потребности практики вычислений, позволяет строже изложить некоторые вопросы о функциях и т. д.
Известно, что для практических вычислений множества рациональных чисел достаточно. Поэтому мотивировка введения иррациональных чисел опирается, прежде всего, на выявление внутренних потребностей математики. Они обнаруживаются, например, при решении следующих задач:
1. Решить уравнение: x² = 2.
2. Найти отношение длины окружности к диаметру.
3. Найти сторону квадрата, если его площадь равна 3.
4. К множеству каких чисел относятся числа: 2,565565556...; 7,232332333...; 0,123123412345123456... и т.д.


Задание. 1. Используя данные задачи, объясните методические особенности введения иррациональных чисел.
2. Изучите по учебникам, как вводятся действия над действительными числами, как разъясняется их арифметический и геометрический смысл.