Учебное пособие "Методика преподавания математики"

2.21. Методика использования интеграла при нахождении объема фигур

План
1. О понятии объема фигуры.

2. Использование интеграла при вычислении объема фигур по площадям его поперечных параллельных сечений.
3. Нахождение объема фигур вращения.

1. 
   О понятии объема фигуры
   

Понятие объема фигуры вводится аналогично понятию площади плоской фигуры. Первоначальное представление об объеме
фигуры связывается у учащихся с подсчетом числа кубиков, длина
ребра которых равна линейной единице измерения (а затем и ее
долей), заполняющих эту фигуру. Такое представление об объеме
фигуры позволяет рассмотреть в школьном курсе геометрии вопрос
об объеме прямоугольного параллелепипеда, вывести формулу для
его нахождения. Далее изучается объем различных многогранни­ков: сначала рассматривается объем призмы, затем объем пирамиды,
далее объемы других многогранников и фигур вращения. Принципиальные трудности, возникающие при изучении объемов, носят
тот же характер, что и при изучении площадей, но имеют определенную специфику. Так, если при измерении площадей непосредственное сравнение площади конкретной фигуры с единицей пло­щади вызывало затруднения, но все же было возможным (палетка!), то для измерения объемов сравнение с единичным кубом практически вообще невозможно, ему на смену всегда приходит измерение косвенное. В то же время такой момент, как необходимость ввести новое определение понятия объема для фигур вращения, уже не вызывает у учащихся недоумения, так как этот новый подход уже применялся при вычислении площадей. Несколько неожиданным для учащихся оказывается лишь необходимость применения пре­дельного перехода к доказательству теоремы об объеме пирамиды —
на первый взгляд кажется, что эту теорему можно доказать по аналогии с теоремой о площади треугольника, т. е. разбив их части призму, основание: которой; конгруэнтно основанию пирамиды. Однако, как это следует из теоремы Дена — Кагана, такое доказа­тельство невозможно в принципе. Учащимся следует сообщить, что необходимость специального определения понятия объема для пирамиды и соответственно необходимость применения интеграль­ных методов вызваны тем, что, оказывается, равновеликие много­гранники далеко не всегда являются одновременно и равносоставленными и этот факт можно строго доказать.

2.